ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 511 Макарычев — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

а) х³ = 4х;
б) х³ = −х + 3;

а)

x = 0
x = 2
x = -2

б)

x = 1,2

а) \(x^3 = 4x\)

1. График \(x^3\):
— Кубическая функция \(x^3\) имеет форму буквы «S». Она проходит через начало координат \((0,0)\).
Для построения:
— Начните с точки \((0,0)\).
— При \(x = 1\), значение функции будет равно \(1^3 = 1\), то есть точка \((1,1)\).
— При \(x = -1\), значение функции будет равно \((-1)^3 = -1\), то есть точка \((-1,-1)\).
— Для больших значений, например, при \(x = 2\), значение будет равно \(2^3 = 8\), и при \(x = -2\), значение будет равно \((-2)^3 = -8\).
— Соедините эти точки плавной кривой, учитывая характерный изгиб кубической функции.

2. График \(4x\):
— Это линейная функция. Прямая линия проходит через начало координат.
Для построения:
— Начните с точки \((0,0)\).
— При \(x = 1\), значение функции будет равно \(4 \times 1 = 4\), то есть точка \((1,4)\).
— При \(x = -1\), значение функции будет равно \(4 \times (-1) = -4\), то есть точка \((-1,-4)\).
— Соедините эти точки прямой линией.

Поиск точек пересечения:
— Посмотрите на графики и найдите точки, где они пересекаются. Это будут решения уравнения.
— В данном случае графики пересекаются в точках \((0,0)\), \((2,8)\), и \((-2,-8)\).

б) \(x^3 = -x + 3\)

1. График \(x^3\):
— Построение аналогично предыдущему пункту. Форма графика остается той же.

2. График \(-x + 3\):
— Это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом и сдвигом вверх на 3 единицы.
Для построения:
— Начните с точки \((0,3)\).
— При \(x = 1\), значение функции будет равно \(-1 + 3 = 2\), то есть точка \((1,2)\).
— При \(x = -1\), значение функции будет равно \(1 + 3 = 4\), то есть точка \((-1,4)\).
— Соедините эти точки прямой линией.

Поиск точек пересечения:
— Найдите точки пересечения графиков. В данном случае это будет примерно в точке \((1.2, 1.73)\), которая соответствует решению уравнения.

Графический метод решения уравнений заключается в нахождении точек пересечения графиков функций, представляющих левую и правую части уравнения. Эти точки пересечения соответствуют значениям переменной, при которых обе функции принимают одинаковое значение, то есть удовлетворяют уравнению.

Как точки пересечения помогают решить уравнение графически:

1. Построение графиков:
— Для каждого уравнения строятся графики функций, которые составляют его левую и правую части. Например, для уравнения \(x^3 = 4x\) строятся графики функций \(y = x^3\) и \(y = 4x\).

2. Нахождение точек пересечения:
— Точки пересечения графиков — это точки, где значения обеих функций равны при одном и том же значении переменной \(x\). В этих точках выполняется равенство, заданное уравнением.
— На графике это визуально проявляется как пересечение линий или кривых.

3. Интерпретация точек пересечения:
— Координаты \(x\) точек пересечения являются решениями уравнения. Они показывают, при каких значениях переменной \(x\) обе функции принимают одно и то же значение.
— Например, для уравнения \(x^3 = 4x\), точки пересечения графиков находятся в \((0,0)\), \((2,8)\), и \((-2,-8)\). Это означает, что \(x = 0\), \(x = 2\), и \(x = -2\) являются решениями уравнения.

4. Проверка решений:
— Графический метод позволяет наглядно увидеть, сколько решений имеет уравнение и какие они. Это особенно полезно для сложных нелинейных уравнений, где аналитическое решение может быть затруднено.

Таким образом, точки пересечения помогают визуально определить решения уравнения, показывая, где графики функций совпадают по значению.