Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 539 Макарычев — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом:
а) \( \frac{10^n — 1}{9} \);
б) \( \frac{10^n + 8}{9} \);
в) \( \frac{10^n — 4}{3} \).
а) \( \frac{10^n — 1}{9} \) — является натуральным числом, т.к. числитель делится нацело на 9
\( 10^n — 1 \) — число, состоящее только из цифры 9, поэтому делится на 9
б) \( \frac{10^n + 8}{9} \) — является натуральным числом, т.к. числитель делится нацело на 9
\( 10^n + 8 \) — число, состоящее из 1, нулей и цифры 8, сумма цифр числа делится на 9, поэтому и все число делится на 9
в) \( \frac{10^n — 4}{3} \) — является натуральным числом, т.к. числитель делится нацело на 3
\( 10^n — 4 \) — число, состоящее из девяток и цифры 6, сумма цифр числа делится на 3, поэтому и все число делится на 3
а) \( \frac{10^n — 1}{9} \) — является натуральным числом, т.к. числитель делится нацело на \( 9 \)
Числитель \( 10^n — 1 \) представляет собой число, состоящее из \( n \) девяток. Например, при \( n = 1 \) это будет \( 9 \), при \( n = 2 \) это будет \( 99 \), и так далее. Это можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии:
\( 10^n — 1 = (10 — 1)(10^{n-1} + 10^{n-2} + \ldots + 10^0) = \)
\( = 9 \times (10^{n-1} + 10^{n-2} + \ldots + 1). \)
Таким образом, \( 10^n — 1 \) делится на \( 9 \) без остатка, и, следовательно, \( \frac{10^n — 1}{9} \) является натуральным числом.
б) \( \frac{10^n + 8}{9} \)
Для доказательства того, что числитель делится на \( 9 \), посмотрим на сумму цифр числа \( 10^n + 8 \). Для \( n > 1 \), \( 10^n + 8 \) представляет собой число с единицей, за которой следуют \( n — 1 \) нулей и цифра \( 8 \). Сумма цифр этого числа равна \( 1 + 0 + \ldots + 0 + 8 = 9 \), что делится на \( 9 \). Таким образом, по признаку делимости на \( 9 \), \( 10^n + 8 \) делится нацело на \( 9 \), и \( \frac{10^n + 8}{9} \) является натуральным числом.
в) \( \frac{10^n — 4}{3} \)
Для доказательства того, что числитель \( 10^n — 4 \) делится на \( 3 \), необходимо рассмотреть сумму цифр числа. При \( n = 1 \), число \( 10^n — 4 \) равно \( 6 \), что очевидно делится на \( 3 \). Для \( n > 1 \), число \( 10^n — 4 \) представляет собой число, состоящее из девяток и цифры \( 6 \). Например, при \( n = 2 \), это число будет \( 96 \), а при \( n = 3 \) — \( 996 \).
Сумма цифр числа \( 10^n — 4 \) равна:
— Для \( n = 2 \): \( 9 + 6 = 15 \),
— Для \( n = 3 \): \( 9 + 9 + 6 = 24 \).
В общем случае, сумма цифр числа \( 10^n — 4 \) будет равна \( (n — 1) \times 9 + 6 \). Поскольку число девяток делится на \( 3 \) и цифра \( 6 \) также делится на \( 3 \), то вся сумма делится на \( 3 \). Следовательно, числитель \( 10^n — 4 \) делится нацело на \( 3 \), и дробь \( \frac{10^n — 4}{3} \) является натуральным числом.
Таким образом, все три дроби являются натуральными числами при любом натуральном \( n \).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!