Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 540 Макарычев — Подробные Ответы
Какие из чисел \( -3, -2, -1, 1, 2, 3 \) являются корнями уравнения:
а) \( x^4 = 81 \);
б) \( x^6 = 64 \);
в) \( x^2 — x = 2 \);
г) \( x^4 + x^3 = 6x^2 \);
д) \( x^3 — 3x^2 — 4x + 12 = 0 \);
е) \( x^3 + 3x^2 — x — 3 = 0 \)?
а) \( x^4 = 81 \)
\( x = 3 \)
\( x = -3 \)
Ответ: 3 и -3
б) \( x^6 = 64 \)
\( x = 2 \)
\( x = -2 \)
Ответ: 2 и -2
в) \( x^2 — x = 2 \)
\( x = -3 \): \( (-3)^2 — (-3) = 2 \) -> \( 9 + 3 = 2 \) -> \( 12 \ne 2 \)
\( x = -2 \): \( 4 + 2 = 2 \) -> \( 6 \ne 2 \)
\( x = -1 \): \( 1 + 1 = 2 \) -> \( 2 = 2 \)
\( x = 1 \): \( 1 — 1 = 2 \) -> \( 0 \ne 2 \)
\( x = 2 \): \( 4 — 2 = 2 \) -> \( 2 = 2 \)
\( x = 3 \): \( 9 — 3 = 2 \) -> \( 6 \ne 2 \)
Ответ: -1 и 2
г) \( x^4 + x^3 = 6x^2 \)
\( x = -3 \): \( 81 + (-27) = 54 \) -> \( 54 = 54 \)
\( x = -2 \): \( 16 + (-8) = 24 \) -> \( 8 \ne 24 \)
\( x = -1 \): \( 1 — 1 = 6 \) -> \( 0 \ne 6 \)
\( x = 1 \): \( 1 + 1 = 6 \) -> \( 2 \ne 6 \)
\( x = 2 \): \( 16 + 8 = 24 \) -> \( 24 = 24 \)
\( x = 3 \): \( 81 + 27 = 54 \) -> \( 108 \ne 54 \)
Ответ: -3 и 2
д) \( x^3 — 3x^2 — 4x + 12 = 0 \)
\( x^2(x — 3) — 4(x — 3) = 0 \)
\( (x — 3)(x^2 — 4) = 0 \)
\( x — 3 = 0 \)
\( x = 3 \)
\( x^2 — 4 = 0 \)
\( x^2 = 4 \)
\( x = -2 \)
\( x = 2 \)
Ответ: -2, 2 и 3
е) \( x^3 + 3x^2 — x — 3 = 0 \)
\( x^2(x + 3) — 1(x + 3) = 0 \)
\( (x + 3)(x^2 — 1) = 0 \)
\( x + 3 = 0 \)
\( x = -3 \)
\( x^2 — 1 = 0 \)
\( x^2 = 1 \)
\( x = 1 \)
\( x = -1 \)
Ответ: -3, -1 и 1
а) \( x^4 = 81 \)
Цель: Найти такие значения \( x \), которые в четвертой степени дадут 81.
Решение:
1. Извлечение четвертой степени из 81:
— Уравнение \( x^4 = 81 \) предполагает, что мы ищем такие значения \( x \), для которых \( x^4 = 81 \).
— Извлекаем четвертую степень: \( x = \pm \sqrt(81) = \pm \sqrt(9) = \pm 3 \).
Ответ: \( x = 3 \) и \( x = -3 \).
б) \( x^6 = 64 \)
Цель: Найти такие значения \( x \), которые в шестой степени дадут 64.
Решение:
1. Извлечение шестой степени из 64:
— Уравнение \( x^6 = 64 \) предполагает, что мы ищем такие значения \( x \), для которых \( x^6 = 64 \).
— Извлекаем шестую степень: \( x = \pm \sqrt(64) = \pm \sqrt(8) = \pm 2 \).
Ответ: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).
в) \( x^2 — x = 2 \)
Цель: Подставить каждое из чисел и проверить, удовлетворяет ли оно уравнению.
Проверка каждого числа:
1. Подставляем каждое число из множества \( -3, -2, -1, 1, 2, 3 \) в уравнение и проверяем равенство:
— Для \( x = -3 \):
\(
(-3)^2 — (-3) = 9 + 3 = 12 \neq 2
\)
— Для \( x = -2 \):
\(
(-2)^2 — (-2) = 4 + 2 = 6 \neq 2
\)
— Для \( x = -1 \):
\(
(-1)^2 — (-1) = 1 + 1 = 2 = 2
\)
— Для \( x = 1 \):
\(
1^2 — 1 = 1 — 1 = 0 \neq 2
\)
— Для \( x = 2 \):
\(
2^2 — 2 = 4 — 2 = 2 = 2
\)
— Для \( x = 3 \):
\(
3^2 — 3 = 9 — 3 = 6 \neq 2
\)
Ответ: \( x = -1 \) и \( x = 2 \).
г) \( x^4 + x^3 = 6x^2 \)
Цель: Найти значения \( x \), которые удовлетворяют уравнению.
Проверка каждого числа:
1. Подставляем каждое число из множества \( -3, -2, -1, 1, 2, 3 \) в уравнение и проверяем равенство:
— Для \( x = -3 \):
\(( -3)^4 + (-3)^3 = 81 — 27 = 54 \) и \( 6(-3)^2 = 54 \) \(\Rightarrow\) \( 54 = 54 \)
\( x = -3 \) является корнем.
— Для \( x = -2 \):
\(( -2)^4 + (-2)^3 = 16 — 8 = 8 \) и \( 6(-2)^2 = 24 \) \(\Rightarrow\) \( 8 \neq 24 \)
— Для \( x = -1 \):
\(( -1)^4 + (-1)^3 = 1 — 1 = 0 \) и \( 6(-1)^2 = 6 \) \(\Rightarrow\) \( 0 \neq 6 \)
— Для \( x = 1 \):
\( (1)^4 + (1)^3 = 1 + 1 = 2 \) и \( 6(1)^2 = 6 \) \(\Rightarrow\) \( 2 \neq 6 \)
— Для \( x = 2 \):
\( (2)^4 + (2)^3 = 16 + 8 = 24 \) и \( 6(2)^2 = 24 \) \(\Rightarrow\) \( 24 = 24 \)
\( x = 2 \) является корнем.
— Для \( x = 3 \):
\( (3)^4 + (3)^3 = 81 + 27 = 108 \) и \( 6(3)^2 = 54 \) \(\Rightarrow\) \( 108 \neq 54 \)
Ответ: \( x = -3 \) и \( x = 2 \).
д) \( x^3 — 3x^2 — 4x + 12 = 0 \)
Цель: Найти корни кубического уравнения.
Решение:
1. Попробуем разложить многочлен на множители:
— Группируем члены уравнения:
\( x^2(x — 3) — 4(x — 3) = 0 \)
— Выносим общий множитель:
\( (x — 3)(x^2 — 4) = 0 \)
2. Решаем полученные уравнения:
— \( x — 3 = 0 \):
\( x = 3 \)
— \( x^2 — 4 = 0 \):
\( x^2 = 4 \)
\( x = \pm 2 \)
Ответ: \( x = -2, x = 2, x = 3 \).
е) \( x^3 + 3x^2 — x — 3 = 0 \)
Цель: Найти корни кубического уравнения.
Решение:
1. Попробуем разложить многочлен на множители:
— Группируем члены уравнения:
\( x^2(x + 3) — 1(x + 3) = 0 \)
— Выносим общий множитель:
\( (x + 3)(x^2 — 1) = 0 \)
2. Решаем полученные уравнения:
— \( x + 3 = 0 \):
\( x = -3 \)
— \( x^2 — 1 = 0 \):
\( x^2 = 1 \)
\( x = \pm 1 \)
Ответ: \( x = -3, x = -1, x = 1 \).
Алгебра
