Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 568 Макарычев — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном \(k\):
а) число \(3^{4k}\) оканчивается единицей;
б) число \(10^k — 1\) кратно 3.
а) \(3^{4k} = (3^4)^k = 81^k\), и так как 81 оканчивается на 1, то \(81^k\) всегда оканчивается на 1. Следовательно, \(3^{4k}\) оканчивается единицей.
б) \(10^k — 1\) состоит из \(k\) девяток. Сумма цифр равна \(9 \times k\), что кратно 9 и, следовательно, кратно 3. Таким образом, \(10^k — 1\) кратно 3.
а) Доказательство того, что \(3^{4k}\) оканчивается единицей
1. Рассмотрим степень числа 3: Начнем с того, что \(3^4 = 81\). Число 81 оканчивается на 1.
2. Свойство чисел, оканчивающихся на 1: Если число оканчивается на 1, то любая его степень также будет оканчиваться на 1. Это связано с тем, что при умножении чисел, оканчивающихся на 1, результат также будет оканчиваться на 1.
3. Применение свойства: Так как \(3^{4k} = (3^4)^k = 81^k\), то независимо от значения \(k\), \(81^k\) будет оканчиваться на 1. Следовательно, \(3^{4k}\) всегда оканчивается единицей.
б) Доказательство того, что \(10^k — 1\) кратно 3
1. Структура числа \(10^k\): Число \(10^k\) имеет вид единицы, за которой следует \(k\) нулей. Например, \(10^3 = 1000\).
2. Вычитание единицы: \(10^k — 1\) будет равняться числу, состоящему из \(k\) девяток. Например, \(10^3 — 1 = 999\).
3. Сумма цифр: Для числа, состоящего из \(k\) девяток, сумма его цифр равна \(9 \times k\). Например, для числа 999 сумма цифр равна \(9 + 9 + 9 = 27\).
4. Кратность сумме цифр: Если сумма цифр числа кратна 9, то она также кратна 3. Поскольку сумма цифр числа \(10^k — 1\) равна \(9 \times k\), она кратна 9 и, следовательно, кратна 3.
Алгебра
