ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 576 Макарычев — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \( (-x^2y^2)^4 \cdot (-xy)^2 = x^8y^8 \cdot x^2y^2 = x^{10}y^{10} \)

б) \( -(-\frac{1}{3}xy^3)^2 \cdot (-3x)^3 = -\frac{1}{9}x^2y^6 \cdot (-27)x^3 = 3x^5y^6 \)

в) \( (-2x^3y^2)^3 \cdot (-2y^2)^3 = -8x^9y^6 \cdot (-8)y^6 = 64x^9y^{12} \)

г) \( (\frac{1}{3}a^2b)^3 \cdot (9ab^2)^2 = \frac{1}{27}a^6b^3 \cdot 81a^2b^4 = 3a^8b^7 \)

д) \( (-5a^3b)^2 \cdot (\frac{1}{5}ab^3)^3 = 25a^6b^2 \cdot \frac{1}{125}a^3b^9 = \frac{1}{5}a^9b^{11} \)

е) \( (-\frac{2}{7}ab^4)^2 \cdot (-3\frac{1}{2}a^3b)^2 = \frac{4}{49}a^2b^8 \cdot (-\frac{7}{2}a^3b)^2 = \frac{4}{49}a^2b^8 \cdot \frac{49}{4}a^6b^2 = \)
\( = a^8b^{10} \)

ж) \( (x^3y)^2 \cdot (-5xy)^3 = x^6y^2 \cdot (-125)x^3y^3 = -125x^9y^5 \)

з) \( (\frac{1}{6}x^2y^2)^2 \cdot (-12x^3y^5)^2 = \frac{1}{36}x^4y^4 \cdot 144x^6y^{10} = 4x^{10}y^{14} \)

а) \( (-x^2y^2)^4 \cdot (-xy)^2 \)

1. Возведение в степень:
— Когда мы возводим выражение \( (-x^2y^2)^4 \) в четвертую степень, мы применяем степень ко всем частям выражения:
— Для коэффициента: \( (-1)^4 = 1 \), потому что любое отрицательное число в четной степени становится положительным.
— Для \( x^2 \): \( (x^2)^4 = x^{2 \times 4} = x^8 \).
— Для \( y^2 \): \( (y^2)^4 = y^{2 \times 4} = y^8 \).
— Таким образом, \( (-x^2y^2)^4 = x^8y^8 \).

2. Возведение в степень второго множителя:
— Для выражения \( (-xy)^2 \):
— Коэффициент: \( (-1)^2 = 1 \).
— Для \( x \): \( x^2 = x^{1 \times 2} = x^2 \).
— Для \( y \): \( y^2 = y^{1 \times 2} = y^2 \).
— Таким образом, \( (-xy)^2 = x^2y^2 \).

3. Перемножение результатов:
— Мы перемножаем степени одинаковых переменных:
— Для \( x \): \( x^8 \cdot x^2 = x^{8+2} = x^{10} \).
— Для \( y \): \( y^8 \cdot y^2 = y^{8+2} = y^{10} \).

Итак, результат: \( x^{10}y^{10} \).

б) \( -(-\frac{1}{3}xy^3)^2 \cdot (-3x)^3 \)

1. Возведение в степень:
— Для выражения \( (-\frac{1}{3}xy^3)^2 \):
— Коэффициент: \( (-1)^2 = 1 \), и \((\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\).
— Для \( x \): \( x^2 = x^{1 \times 2} = x^2 \).
— Для \( y^3 \): \( (y^3)^2 = y^{3 \times 2} = y^6 \).
— Таким образом, \( (-\frac{1}{3}xy^3)^2 = \frac{1}{9}x^2y^6 \).

2. Возведение в степень второго множителя:
— Для выражения \( (-3x)^3 \):
— Коэффициент: \( (-1)^3 = -1 \), и \( 3^3 = 27 \), поэтому общий коэффициент будет \(-27\).
— Для \( x \): \( (x)^3 = x^{1 \times 3} = x^3 \).
— Таким образом, \( (-3x)^3 = -27x^3 \).

3. Перемножение результатов с учетом знаков:
— Учитывая знак перед первым выражением, мы имеем:
— \( -(\frac{1}{9}x^2y^6) \cdot (-27x^3) = (\frac{1}{9})x^2y^6 \cdot 27x^3 = 3x^{2+3}y^6 = 3x^5y^6 \).

в) \( (-2x^3y^2)^3 \cdot (-2y^2)^3 \)

1. Возведение в степень:
— Для выражения \( (-2x^3y^2)^3 \):
— Коэффициент: \( (-1)^3 = -1 \), и \( 2^3 = 8\), поэтому общий коэффициент будет \(-8\).
— Для \( x^3 \): \( (x^3)^3 = x^{3 \times 3} = x^9 \).
— Для \( y^2 \): \( (y^2)^3 = y^{2 \times 3} = y^6 \).
— Таким образом, \( (-2x^3y^2)^3 = -8x^9y^6 \).

2. Возведение в степень второго множителя:
— Для выражения \( (-2y^2)^3 \):
— Коэффициент: \( (-1)^3 = -1\), и \( 2^3 = 8\), поэтому общий коэффициент будет \(-8\).
— Для \( y^2\): \( (y^2)^3 = y^{2 \times 3} = y^6\).
— Таким образом, \( (-2y^2)^3 = -8y^6\).

3. Перемножение результатов с учетом знаков:
— Учитывая знаки, мы имеем:
— \((-8x^9y^6) \cdot (-8y^6) = 64x^{9}y^{6+6} = 64x^{9}y^{12}\).

г) \( (\frac{1}{3}a^2b)^3 \cdot (9ab^2)^2 \)

1. Возведение в степень каждого множителя:
— Для выражения \( (\frac{1}{3}a^2b)^3 \):
— Коэффициент: \( (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27} \). Это происходит потому, что мы возводим дробь в третью степень.
— Переменная \( a^2 \): \( (a^2)^3 = a^{2 \times 3} = a^6 \). Мы возводим \( a^2 \) в третью степень, умножая показатели степеней.
— Переменная \( b \): \( b^3 = b^{1 \times 3} = b^3 \). Здесь степень \( b \) становится \( 3 \).
— Для выражения \( (9ab^2)^2 \):
— Коэффициент: \( 9^2 = 81 \). Мы возводим \( 9 \) во вторую степень.
— Переменная \( a \): \( a^2 = a^{1 \times 2} = a^2 \). Возводим \( a \) во вторую степень.
— Переменная \( b^2 \): \( (b^2)^2 = b^{2 \times 2} = b^4 \). Мы умножаем показатели степеней для \( b^2 \).

2. Перемножение результатов:
— Коэффициенты: \( \frac{1}{27} \cdot 81 = 3 \). Мы перемножаем числовые коэффициенты.
— Для переменной \( a \): \( a^6 \cdot a^2 = a^{6+2} = a^8 \). Складываем показатели степеней.
— Для переменной \( b \): \( b^3 \cdot b^4 = b^{3+4} = b^7 \). Складываем показатели степеней.

Таким образом, результат: \( 3a^8b^7 \).

д) \( (-5a^3b)^2 \cdot (\frac{1}{5}ab^3)^3 \)

1. Возведение в степень каждого множителя:
— Для выражения \( (-5a^3b)^2 \):
— Коэффициент: \( (-5)^2 = 25 \). Возводим число в квадрат, и знак становится положительным, так как четная степень.
— Переменная \( a^3 \): \( (a^3)^2 = a^{3 \times 2} = a^6 \). Умножаем показатели степеней.
— Переменная \( b \): \( b^2 = b^{1 \times 2} = b^2 \).
— Для выражения \( (\frac{1}{5}ab^3)^3 \):
— Коэффициент: \( (\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125} \).
— Переменная \( a \): \( a^3 = a^{1 \times 3} = a^3 \).
— Переменная \( b^3 \): \( (b^3)^3 = b^{3 \times 3} = b^9 \).

2. Перемножение результатов:
— Коэффициенты: \( 25 \cdot \frac{1}{125} = \frac{25}{125} = \frac{1}{5} \).
— Для переменной \( a \): \( a^6 \cdot a^3 = a^{6+3} = a^9 \).
— Для переменной \( b \): \( b^2 \cdot b^9 = b^{2+9} = b^{11} \).

Таким образом, результат: \( \frac{1}{5}a^9b^{11} \).

е) \( (-\frac{2}{7}ab^4)^2 \cdot (-3\frac{1}{2}a^3b)^2 \)

1. Возведение в степень каждого множителя:
— Для выражения \( (-\frac{2}{7}ab^4)^2 \):
— Коэффициент: \( (-\frac{2}{7})^2 = (\frac{2}{7})^2 = \frac{4}{49} \).
— Переменная \( a \): \( a^2 = a^{1 \times 2} = a^2 \).
— Переменная \( b^4 \): \( (b^4)^2 = b^{4 \times 2} = b^8 \).
— Для выражения \( (-3\frac{1}{2}a^3b)^2 = (-\frac{7}{2}a^3b)^2 \):
— Коэффициент: \( (-\frac{7}{2})^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4} \).
— Переменная \( a^3 \): \( (a^3)^2 = a^{3 \times 2} = a^6 \).
— Переменная \( b \): \( b^2 = b^{1 \times 2} = b^2 \).

2. Перемножение результатов:
— Коэффициенты: \( \frac{4}{49} \cdot \frac{49}{4} = 1 \).
— Для переменной \( a \): \( a^2 \cdot a^6 = a^{2+6} = a^8 \).
— Для переменной \( b \): \( b^8 \cdot b^2 = b^{8+2} = b^{10} \).

Таким образом, результат: \( a^8b^{10} \).

ж) \( (x^3y)^2 \cdot (-5xy)^3 \)

1. Возведение в степень каждого множителя:
— Для выражения \( (x^3y)^2 \):
— Переменная \( x^3 \): \( (x^3)^2 = x^{3 \times 2} = x^6 \). Мы возводим \( x^3 \) во вторую степень, умножая показатели степеней.
— Переменная \( y \): \( y^2 = y^{1 \times 2} = y^2 \). Возводим \( y \) во вторую степень.
— Для выражения \( (-5xy)^3 \):
— Коэффициент: \( (-5)^3 = -125 \). Мы возводим \( -5 \) в третью степень.
— Переменная \( x \): \( x^3 = x^{1 \times 3} = x^3 \). Возводим \( x \) в третью степень.
— Переменная \( y \): \( y^3 = y^{1 \times 3} = y^3 \). Возводим \( y \) в третью степень.

2. Перемножение результатов:
— Коэффициент: \( 1 \cdot (-125) = -125 \). Перемножаем числовые коэффициенты.
— Для \( x \): \( x^6 \cdot x^3 = x^{6+3} = x^9 \). Суммируем показатели степеней для \( x \).
— Для \( y \): \( y^2 \cdot y^3 = y^{2+3} = y^5 \). Суммируем показатели степеней для \( y \).

Таким образом, результат: \( -125x^9y^5 \).

з) \( (\frac{1}{6}x^2y^2)^2 \cdot (-12x^3y^5)^2 \)

1. Возведение в степень каждого множителя:
— Для выражения \( (\frac{1}{6}x^2y^2)^2 \):
— Коэффициент: \( (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36} \). Возводим дробь во вторую степень.
— Переменная \( x^2 \): \( (x^2)^2 = x^{2 \times 2} = x^4 \). Возводим \( x^2 \) во вторую степень.
— Переменная \( y^2 \): \( (y^2)^2 = y^{2 \times 2} = y^4 \). Возводим \( y^2 \) во вторую степень.
— Для выражения \( (-12x^3y^5)^2 \):
— Коэффициент: \( (-12)^2 = 144 \). Возводим \( -12 \) во вторую степень.
— Переменная \( x^3 \): \( (x^3)^2 = x^{3 \times 2} = x^6 \). Возводим \( x^3 \) во вторую степень.
— Переменная \( y^5 \): \( (y^5)^2 = y^{5 \times 2} = y^{10} \). Возводим \( y^5 \) во вторую степень.

2. Перемножение результатов:
— Коэффициент: \( \frac{1}{36} \cdot 144 = 4 \). Перемножаем числовые коэффициенты.
— Для \( x \): \( x^4 \cdot x^6 = x^{4+6} = x^{10} \). Суммируем показатели степеней для \( x \).
— Для \( y \): \( y^4 \cdot y^{10} = y^{4+10} = y^{14} \). Суммируем показатели степеней для \( y \).

Таким образом, результат: \( 4x^{10}y^{14} \).