ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 582 Макарычев — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:
а) \(x^2 = 2 — x\);
б) \(x^2 = 8\);
в) \(x^3 = 6\);
г) \(x^3 = -x + 4\).

Для графического решения уравнения вида f(x) = g(x) необходимо построить в одной системе координат графики функций y = f(x) и y = g(x). Решениями уравнения являются абсциссы (x-координаты) точек пересечения этих графиков.

а) x² = 2 — x

1. Представим уравнение как равенство двух функций:
y₁ = x² (график — парабола)
y₂ = 2 — x (график — прямая линия)

2. Строим график функции y₁ = x². Это стандартная парабола с вершиной в точке (0,0), симметричная относительно оси Y.
Для построения возьмем несколько точек: (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4).

3. Строим график функции y₂ = 2 — x. Это убывающая прямая.
Найдем две точки:
При x = 0, y = 2 — 0 = 2. Точка (0, 2).
При x = 2, y = 2 — 2 = 0. Точка (2, 0).
Проводим прямую через эти точки.

4. Находим точки пересечения параболы и прямой. Построенные графики пересекаются в двух точках. Определяем их x-координаты по графику:
Первая точка пересечения имеет x-координату -2.
Вторая точка пересечения имеет x-координату 1.

5. Ответ для а): Решения уравнения x² = 2 — x графически равны x = -2 и x = 1.

б) x² = 8

1. Представим уравнение как равенство двух функций:
y₁ = x² (график — парабола)
y₂ = 8 (график — горизонтальная прямая)

2. Строим график функции y₁ = x² (та же парабола, что и в пункте а).

3. Строим график функции y₂ = 8. Это горизонтальная прямая, проходящая через отметку 8 по оси Y.

4. Находим точки пересечения параболы y = x² и прямой y = 8. Горизонтальная прямая пересекает параболу в двух точках, симметричных относительно оси Y. Определяем их x-координаты. Алгебраически мы знаем, что x² = 8 дает x = ±√8 = ± 2√2. Графически мы находим точки на оси X, соответствующие этим значениям (приблизительно ± 2.83). Графический метод позволяет визуализировать эти решения.

5. Ответ для б): Решения уравнения x² = 8 графически соответствуют абсциссам точек пересечения графиков y=x² и y=8, то есть x = √8 и x = -√8.

в) x³ = 6

1. Представим уравнение как равенство двух функций:
y₁ = x³ (график — кубическая парабола)
y₂ = 6 (график — горизонтальная прямая)

2. Строим график функции y₁ = x³.
Для построения возьмем несколько точек: (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8).

3. Строим график функции y₂ = 6. Это горизонтальная прямая, проходящая через отметку 6 по оси Y.

4. Находим точки пересечения кубической параболы y = x³ и прямой y = 6. Горизонтальная прямая пересекает кубическую параболу в одной точке. Определяем ее x-координату. Алгебраически x³ = 6 дает x = ³√6. Графически мы находим точку на оси X, соответствующую этому значению (приблизительно 1.82).

5. Ответ для в): Решение уравнения x³ = 6 графически соответствует абсциссе точки пересечения графиков y=x³ и y=6, то есть x = ³√6.

г) x³ = -x + 4

1. Представим уравнение как равенство двух функций:
y₁ = x³ (график — кубическая парабола)
y₂ = -x + 4 (график — прямая линия)

2. Строим график функции y₁ = x³ (та же кубическая парабола, что и в пункте в).

3. Строим график функции y₂ = -x + 4. Это убывающая прямая.
Найдем две точки:
При x = 0, y = -0 + 4 = 4. Точка (0, 4).
При x = 4, y = -4 + 4 = 0. Точка (4, 0).
Проводим прямую через эти точки.

4. Находим точки пересечения кубической параболы и прямой. Построенные графики пересекаются в одной точке. Определяем ее x-координату по графику. Графический метод позволяет найти приближенное значение корня. Построение показывает, что точка пересечения находится между x=1 и x=2. При более детальном рассмотрении графика в области пересечения видно, что x-координата этой точки составляет примерно 1.4.

5. Ответ для г): Решение уравнения x³ = -x + 4 графически найдено как абсцисса точки пересечения графиков y=x³ и y=-x+4, которая приблизительно равна x ≈ 1.4.