ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 679 Макарычев — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Докажите, что значение выражения:
а) 16⁵ + 16⁴ кратно 17;
б) 38⁹ — 38⁸ кратно 37;
в) 36⁵ — 6⁹ кратно 30;
г) 5¹⁸ — 25⁸ кратно 120.

1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.
3) Предложите друг другу составить задание, аналогичное заданию б).

а) 16⁵ + 16⁴ = 16⁴(16 + 1) = 16⁴ · 17 : 17

б) 38⁹ — 38⁸ = 38⁸(38 — 1) = 38⁸ · 37 : 37

в) 36⁵ — 6⁹ = (6²)⁵ — 6⁹ = 6¹⁰ — 6⁹ = 6⁹(6 — 1) = 6⁹ · 5 = 6⁸ · 30 : 30

г) 5¹⁸ — 25⁸ = 5¹⁸ — (5²)⁸ = 5¹⁸ — 5¹⁶ = 5¹⁶(5² — 1) = 5¹⁶(25 — 1) = 5¹⁶ · 24 =
= 5¹⁵ · 5 · 24 = 5¹⁵ · 120 : 120

а) \(16^5 + 16^4\) кратно \(17\)
1. Исходное выражение: \(16^5 + 16^4\).
2. Факторизация: Для того чтобы упростить выражение, вынесем \(16^4\) за скобки. Это можно сделать, так как \(16^5 = 16^4 \cdot 16\), а \(16^4\) уже присутствует в обоих слагаемых:
\(16^5 + 16^4 = 16^4(16 + 1)\)
3. Упрощение: Внутри скобок \(16 + 1 = 17\), и теперь у нас есть выражение:
\(16^4 \cdot 17\)
4. Заключение: Мы видим, что в произведении присутствует множитель \(17\). Следовательно, все выражение делится на \(17\) (так как любое число, умноженное на \(17\), делится на \(17\)). Это и доказывает, что \(16^5 + 16^4\) кратно \(17\).

б) \(38^9 — 38^8\) кратно \(37\)
1. Исходное выражение: \(38^9 — 38^8\).
2. Факторизация: Подобно первому примеру, мы можем вынести общий множитель \(38^8\) из обоих слагаемых:
\(38^9 — 38^8 = 38^8(38 — 1)\)
3. Упрощение: Внутри скобок \(38 — 1 = 37\), и теперь выражение становится:
\(38^8 \cdot 37\)
4. Заключение: В произведении есть множитель \(37\), что значит, выражение делится на \(37\). Это и доказывает, что \(38^9 — 38^8\) кратно \(37\).

в) \(36^5 — 6^9\) кратно \(30\)

1. Переписываем \(36^5\) как \((6^2)^5\)
Первое, что мы замечаем, это то, что число \(36\) можно представить как квадрат числа \(6\), то есть:
\(36 = 6^2\)
Это позволяет нам переписать \(36^5\) как степень числа \(6\):
\(36^5 = (6^2)^5 = 6^{10}\)
Так что теперь у нас выражение:
\(36^5 = 6^{10}\)

2. Подставляем \(6^{10}\) вместо \(36^5\)
Теперь, зная, что \(36^5 = 6^{10}\), мы подставляем \(6^{10}\) в исходное выражение:
\(36^5 — 6^9 = 6^{10} — 6^9\)
Теперь у нас два слагаемых: \(6^{10}\) и \(6^9\).

3. Вынесем общий множитель \(6^9\)
Посмотрим на оба слагаемых — \(6^{10}\) и \(6^9\). Мы видим, что \(6^9\) является общим множителем для обоих слагаемых. Поэтому мы можем вынести \(6^9\) за скобки:
\(6^{10} — 6^9 = 6^9(6 — 1)\)
Здесь мы воспользовались тем, что \(6^{10} = 6^9 \cdot 6\). Мы вынесли \(6^9\) за скобки, а в скобках осталось \(6 — 1\).

4. Упростим выражение внутри скобок
Теперь в скобках у нас простое выражение:
\(6 — 1 = 5\)
Таким образом, выражение превращается в:
\(6^9 \cdot 5\)
Мы получили произведение \(6^9\) и \(5\).

5. Проверим кратность \(30\)
Теперь посмотрим на выражение \(6^9 \cdot 5\).

— \(6^9\) — это степень числа \(6\), а значит, оно делится на \(6\).
— \(5\) — это простое число, и оно делится на \(5\).

Поскольку \(6^9\) делится на \(6\), а \(5\) делится на \(5\), произведение \(6^9 \cdot 5\) обязательно делится на \(6 \cdot 5 = 30\). Таким образом, выражение \(6^9 \cdot 5\) делится на \(30\).

6. Упростим окончательное выражение
Теперь у нас есть:
\(6^9 \cdot 5 = 6^8 \cdot 30\)

Так как \(6^9 = 6^8 \cdot 6\), то мы можем записать \(6^9 \cdot 5\) как \(6^8 \cdot 30\).

Заключение:
Мы доказали, что выражение \(36^5 — 6^9\) можно записать как \(6^8 \cdot 30\), что является явным доказательством того, что оно делится на \(30\).

Ответ: \(36^5 — 6^9\) кратно \(30\).

г) \(5^{18} — 25^8\) кратно \(120\)

Шаг \(1\): Переписываем \(25^8\) через \(5^{16}\)
Для начала заметим, что \(25 = 5^2\). Это очень важно, потому что если мы возьмем степень числа \(25\), то можем выразить её через степень числа \(5\). Рассмотрим:
\(25^8 = (5^2)^8 = 5^{16}\)
Это упрощает выражение, так как вместо \(25^8\) мы теперь работаем с \(5^{16}\). Таким образом, выражение \(5^{18} — 25^8\) становится:
\(5^{18} — 25^8 = 5^{18} — 5^{16}\)
Теперь у нас есть два слагаемых, в которых фигурирует степень числа \(5\): \(5^{18}\) и \(5^{16}\).

Шаг \(2\): Вынесем общий множитель \(5^{16}\)
Посмотрим внимательно на два слагаемых: \(5^{18}\) и \(5^{16}\). Обратите внимание, что \(5^{18}\) можно записать как \(5^{16} \cdot 5^2\), а \(5^{16}\) — как \(5^{16} \cdot 1\). Таким образом, оба слагаемых имеют общий множитель \(5^{16}\). Вынесем этот множитель за скобки:
\(5^{18} — 5^{16} = 5^{16}(5^2 — 1)\)
Здесь мы использовали свойство степени, что \(5^{18} = 5^{16} \cdot 5^2\), и вынесли \(5^{16}\) за скобки. Осталась разница \(5^2 — 1\), которая будет упрощена в следующем шаге.

Шаг \(3\): Упростим выражение внутри скобок
Теперь давайте упростим выражение внутри скобок:
\(5^2 — 1 = 25 — 1 = 24\)
Это дает нам:
\(5^{16} \cdot 24\)
Теперь у нас выражение, состоящее из множителей \(5^{16}\) и \(24\).

Шаг \(4\): Упростим выражение дальше
На этом шаге нужно рассмотреть, как можно дальше упростить выражение. Мы знаем, что:
\(5^{16} = 5^{15} \cdot 5\)
Таким образом, можно записать \(5^{16} \cdot 24\) как:
\(5^{16} \cdot 24 = 5^{15} \cdot 5 \cdot 24\)
Мы просто разложили \(5^{16}\) как \(5^{15} \cdot 5\), чтобы выразить результат в более простом виде.

Шаг \(5\): Проверим, что выражение делится на \(120\)
Теперь давайте внимательно рассмотрим полученное выражение:
\(5^{15} \cdot 5 \cdot 24\)
Наша задача — доказать, что это выражение делится на \(120\). Для этого давайте разложим \(120\) на простые множители:
\(120 = 5 \times 24\)
Как видим, \(120\) — это произведение \(5\) и \(24\). Теперь обратим внимание на наше выражение:
\(5^{15} \cdot 5 \cdot 24\)
Здесь уже есть множитель \(5\) и множитель \(24\), то есть это выражение явно делится на \(5 \times 24 = 120\). Поскольку в выражении уже есть все необходимые множители, оно делится на \(120\).

Заключение:
Мы доказали, что \(5^{18} — 25^8\) делится на \(120\), потому что выражение \(5^{18} — 25^8\) можно представить как:
\(5^{15} \cdot 5 \cdot 24 = 5^{15} \cdot 120\)
Таким образом, мы завершили доказательство.

Ответ: \(5^{18} — 25^8\) кратно \(120\).

Подведение итогов

В каждом из этих примеров использовался метод факторизации (вынесение общего множителя), что позволило выделить в выражении число, которое делит все выражение. Мы фактически доказали, что выражения делятся на определенные числа, потому что нашли в разложенных формулах множители, кратные этим числам. Факторизация — это мощный инструмент, который помогает упростить выражения и быстро доказать, что они делятся на определенные числа.