ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 680 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители:
а) \(x^5 + x^4 — x^3\);
б) \(y^7 — y^5 — y^2\);
в) \(a^4 + a^5 — a^8\);
г) \(-b^{10} — b^{15} — b^{20}\).

a) \(x^5 + x^4 — x^3 = x^3(x^2 + x — 1)\)

б) \(y^7 — y^5 — y^2 = y^2(y^5 — y^3 — 1)\)

в) \(a^4 + a^5 — a^8 = a^4(1 + a — a^4)\)

г) \(-b^{10} — b^{15} — b^{20} = -b^{10}(1 + b^5 + b^{10})\)

а) \(x^5 + x^4 — x^3\)

1. Посмотрим на выражение: \(x^5 + x^4 — x^3\). Мы видим, что все слагаемые содержат степени \(x\). Чтобы разложить это выражение на множители, нужно найти наибольший общий множитель для всех слагаемых.

2. Ищем общий множитель: В каждом из слагаемых присутствует хотя бы одна степень \(x\), и наибольшая степень, которая встречается в каждом слагаемом — это \(x^3\). Следовательно, \(x^3\) можно вынести за скобки.

\(x^5 + x^4 — x^3 = x^3(x^2 + x — 1)\)

3. Пояснение: Мы разложили выражение, вынеся \(x^3\) за скобки. В скобках у нас остаётся \(x^2 + x — 1\), что является частью исходного выражения, в которой нет общего множителя. Мы не можем упростить её дальше.

Ответ: \(x^5 + x^4 — x^3 = x^3(x^2 + x — 1)\).

б) \(y^7 — y^5 — y^2\)

1. Посмотрим на выражение: \(y^7 — y^5 — y^2\). Снова видим, что в каждом слагаемом есть степень \(y\), и нужно найти наибольший общий множитель.

2. Ищем общий множитель: Все слагаемые содержат \(y^2\), так как минимальная степень среди всех слагаемых — это \(y^2\). Следовательно, \(y^2\) можно вынести за скобки.

\(y^7 — y^5 — y^2 = y^2(y^5 — y^3 — 1)\)

3. Пояснение: Мы вынесли \(y^2\) из всех слагаемых. В скобках получилось \(y^5 — y^3 — 1\). Мы не можем упростить выражение внутри скобок дальше, так как там уже нет общего множителя между всеми членами.

Ответ: \(y^7 — y^5 — y^2 = y^2(y^5 — y^3 — 1)\).

в) \(a^4 + a^5 — a^8\)

1. Посмотрим на выражение: \(a^4 + a^5 — a^8\). Мы ищем общий множитель для всех слагаемых. Все слагаемые содержат степень \(a\), и наибольшая степень, которая есть в каждом из членов, — это \(a^4\).

2. Ищем общий множитель: Вынесем \(a^4\) из всех слагаемых:

\(a^4 + a^5 — a^8 = a^4(1 + a — a^4)\)

3. Пояснение: Мы вынесли \(a^4\) за скобки. В скобках получилось \(1 + a — a^4\). Мы не можем упростить это выражение дальше, так как оно не имеет общего множителя.

Ответ: \(a^4 + a^5 — a^8 = a^4(1 + a — a^4)\).

г) \(-b^{10} — b^{15} — b^{20}\)

1. Посмотрим на выражение: \(-b^{10} — b^{15} — b^{20}\). Здесь важно заметить, что все слагаемые имеют общий минус перед собой, и в каждом слагаемом есть степень \(b\).

2. Ищем общий множитель: Все слагаемые содержат \(b^{10}\). Это наименьшая степень, которая встречается в каждом из слагаемых. Таким образом, можно вынести \(-b^{10}\) за скобки.

\(-b^{10} — b^{15} — b^{20} = -b^{10}(1 + b^5 + b^{10})\)

3. Пояснение: Мы вынесли \(-b^{10}\) за скобки. В скобках осталось \(1 + b^5 + b^{10}\). Это выражение не может быть дальше разложено, так как нет общего множителя.

Ответ: \(-b^{10} — b^{15} — b^{20} = -b^{10}(1 + b^5 + b^{10})\).

Подробное объяснение каждого шага:

1. Ищем общий множитель: В каждом примере мы ищем наибольший общий множитель для всех слагаемых. Это базовый шаг в разложении выражений. Общий множитель можно вынести за скобки.

2. Вынесли общий множитель: После нахождения общего множителя мы его выносим за скобки, оставляя в скобках ту часть выражения, которая остаётся после вынесения множителя.

3. Не можем упростить дальше: В каждом случае, после того как мы вынесли общий множитель, выражение внутри скобок не может быть упрощено, так как в нём нет общего множителя между всеми членами.

4. Знаки: В последнем примере с \(-b^{10} — b^{15} — b^{20}\) важно не забывать, что мы также выносим минус перед всем выражением. Это важный момент для правильного представления итогового выражения.