ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 681 Макарычев — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Докажите, что:
а) \(7^8 — 7^7 + 7^6\) делится на 43;
б) \(2^{13} — 2^{10} — 2^9\) делится на 13;
в) \(27^4 — 9^5 + 3^9\) делится на 25;
г) \(16^4 — 2^{13} — 4^5\) делится на 110.

1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
3) Обсудите, какие свойства делимости использованы при выполнении задания.

а) \(7^8 — 7^7 + 7^6 = 7^6(49 — 7 + 1) = 7^6 \cdot 43\)

б) \(2^{13} — 2^{10} — 2^9 = 2^9(2^4 — 2 — 1) = 2^9 (16 — 3) = 2^9 \cdot 13\)

в) \(27^4 — 9^5 + 3^9 = (3^3)^4 — (3^2)^5 + 3^9 = 3^{12} — 3^{10} + 3^9 = 3^9(27 — 3 +\)
\(+ 1) = 3^9 \cdot 25\)

г) \(16^4 — 2^{13} — 4^5 = (2^4)^4 — 2^{13} — (2^2)^5 = 2^{16} — 2^{13} — 2^{10} = 2^{10}(2^6 -\)
\(- 2^3 — 1) = 2^{10}(64 — 8 — 1) = 2^{10} \cdot 55 = 2^9 \cdot 110\)

а) \(7^8 — 7^7 + 7^6\) делится на \(43\)

1. Исходное выражение: \(7^8 — 7^7 + 7^6\).
2. Вынесем общий множитель: Все слагаемые содержат \(7^6\), поэтому вынесем его за скобки:
\((7^8 — 7^7 + 7^6 = 7^6(7^2 — 7 + 1))\)
3. Упрощаем выражение в скобках: Теперь вычислим \(7^2 — 7 + 1\):
\((7^2 = 49, 49 — 7 = 42, 42 + 1 = 43)\)
Таким образом, в скобках получается \(43\):
\((7^6(7^2 — 7 + 1) = 7^6 \cdot 43)\)
4. Заключение: Мы видим, что выражение \(7^8 — 7^7 + 7^6\) имеет множитель \(43\), что означает, что оно делится на \(43\).

Ответ: \(7^8 — 7^7 + 7^6 = 7^6 \cdot 43\), следовательно, выражение делится на \(43\).

б) \(2^{13} — 2^{10} — 2^9\) делится на \(13\)

1. Исходное выражение: \(2^{13} — 2^{10} — 2^9\).
2. Вынесем общий множитель: Все слагаемые содержат \(2^9\), поэтому выносим \(2^9\):
\((2^{13} — 2^{10} — 2^9 = 2^9(2^4 — 2^1 — 1))\).
3. Упростим выражение в скобках: Теперь вычислим \(2^4 — 2 — 1\):
\((2^4 = 16, 16 — 2 = 14, 14 — 1 = 13)\).
Таким образом, в скобках получается \(13\):
\((2^9(2^4 — 2 — 1) = 2^9 \cdot 13)\).
4. Заключение: Мы видим, что выражение \(2^{13} — 2^{10} — 2^9\) имеет множитель \(13\), что означает, что оно делится на \(13\).

Ответ: \(2^{13} — 2^{10} — 2^9 = 2^9 \cdot 13\), следовательно, выражение делится на \(13\).

в) \(27^4 — 9^5 + 3^9\) делится на \(25\)

1. Исходное выражение: \(27^4 — 9^5 + 3^9\).
2. Переписываем степени чисел через степени \(3\): Заметим, что \(27 = 3^3\), \(9 = 3^2\), и \(3 = 3^1\). Мы можем выразить все эти числа через степени \(3\):
\(
27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}, \quad 9^5 = (3^2)^5 = 3^{10}, \quad 3^9 = 3^9
\)
Таким образом, выражение становится:
\(
27^4 — 9^5 + 3^9 = 3^{12} — 3^{10} + 3^9
\)
3. Вынесем общий множитель \(3^9\): Все слагаемые содержат \(3^9\), поэтому выносим его за скобки:
\(
3^{12} — 3^{10} + 3^9 = 3^9(3^3 — 3^1 + 1)
\)
4. Упрощаем выражение в скобках: Теперь вычислим \(3^3 — 3^1 + 1\):
\(
3^3 = 27, \quad 3^1 = 3, \quad 27 — 3 = 24, \quad 24 + 1 = 25
\)
Таким образом, в скобках получается \(25\):
\(
3^9(3^3 — 3^1 + 1) = 3^9 \cdot 25
\)
5. Заключение: Мы видим, что выражение \(27^4 — 9^5 + 3^9\) имеет множитель \(25\), следовательно, оно делится на \(25\).

Ответ: \(27^4 — 9^5 + 3^9 = 3^9 \cdot 25\), следовательно, выражение делится на \(25\).

г) \(16^4 — 2^{13} — 4^5\) делится на \(110\)

1. Исходное выражение: \(16^4 — 2^{13} — 4^5\).
2. Переписываем степени через \(2\): Заметим, что \(16 = 2^4\), \(4 = 2^2\), и \(2\) остается как есть. Таким образом, можно выразить все степени через \(2\):
\(
16^4 = (2^4)^4 = 2^{16}, \quad 4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}, \quad 2^{13} = 2^{13}
\)
Получаем:
\(
16^4 — 2^{13} — 4^5 = 2^{16} — 2^{13} — 2^{10}
\)
3. Вынесем общий множитель \(2^{10}\): Все слагаемые содержат \(2^{10}\), поэтому выносим его за скобки:
\(
2^{16} — 2^{13} — 2^{10} = 2^{10}(2^6 — 2^3 — 1)
\)
4. Упрощаем выражение в скобках: Теперь вычислим \(2^6 — 2^3 — 1\):
\(
2^6 = 64, \quad 2^3 = 8, \quad 64 — 8 = 56, \quad 56 — 1 = 55
\)
Таким образом, в скобках получается \(55\):
\(
2^{10}(2^6 — 2^3 — 1) = 2^{10} \cdot 55
\)
5. Заключение: Мы видим, что выражение \(16^4 — 2^{13} — 4^5\) содержит множитель \(55\), и \(55\) можно разложить на \(5 \times 11\), что позволяет утверждать, что выражение делится на \(110\) (так как \(55 \times 2^{10} = 110 \times 2^9\)).

Ответ: \(16^4 — 2^{13} — 4^5 = 2^{10} \cdot 55\), следовательно, выражение делится на \(110\).

Обсуждение свойств делимости:

* В заданиях а), б), в) и г) мы использовали свойства степеней и факторизацию. В каждом случае мы искали общий множитель для всех слагаемых, который можно было вынести за скобки.
* В пункте а) мы использовали свойство, что \(7^8 — 7^7 + 7^6\) содержит множитель \(43\).
* В пункте б) и в) мы использовали свойство, что выражения делятся на числа \(13\) и \(25\) соответственно, так как в разложении мы видим множители \(13\) и \(25\).
* В пункте г) важным моментом было то, что выражение \(2^{10} \cdot 55\) содержит множитель \(55\), который можно разложить как \(5 \times 11\), а это в свою очередь делит на \(110\).

Резюме: В этих заданиях мы использовали основные методы работы с показателями степеней и делимостью чисел, что позволяет легко разложить выражения и доказать их делимость на определенные числа.