ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 682 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:
а) \(x^3 — 3x^2 + x\);
б) \(m^2 — 2m^3 — m^4\);
в) \(4a^5 — 2a^3 + a\);
г) \(6x^2 — 4x^3 + 10x^4\);
д) \(15a^3 — 9a^2 + 6a\);
е) \(-3m^2 — 6m^3 + 12m^5\).

а) \(x^3 — 3x^2 + x = x(x^2 — 3x + 1)\)

б) \(m^2 — 2m^3 — m^4 = m^2(1 — 2m — m^2)\)

в) \(4a^5 — 2a^3 + a = a(4a^4 — 2a^2 + 1)\)

г) \(6x^2 — 4x^3 + 10x^4 = 2x^2(3 — 2x + 5x^2)\)

д) \(15a^3 — 9a^2 + 6a = 3a(5a^2 — 3a + 2)\)

е) \(-3m^2 — 6m^3 + 12m^5 = -3m^2(1 + 2m — 4m^3)\)

а) \(x^3 — 3x^2 + x\)

1. Исходное выражение: \(x^3 — 3x^2 + x\).

Мы видим, что все слагаемые содержат степень \(x\). Нужно найти наибольший общий множитель, который можно вынести из всех слагаемых.

2. Ищем общий множитель: Мы заметим, что во всех слагаемых присутствует хотя бы один множитель \(x\). При этом наибольшая степень, которая встречается во всех слагаемых, это \(x\), так как степень \(x\) в каждом слагаемом различна: в \(x^3\) степень 3, в \(-3x^2\) — степень 2, а в \(x\) — степень 1. Следовательно, \(x\) — это наибольший общий множитель.

3. Вынесем общий множитель: Мы выносим \(x\) за скобки:

\(
x^3 — 3x^2 + x = x(x^2 — 3x + 1)
\)

4. Заключение: После того как мы вынесли \(x\), в скобках остаётся выражение \(x^2 — 3x + 1\). Это выражение уже не может быть дальше разложено на множители с целыми коэффициентами, так как оно не имеет простых множителей, которые можно выделить.

Ответ: \(x^3 — 3x^2 + x = x(x^2 — 3x + 1)\).

б) \(m^2 — 2m^3 — m^4\)

1. Исходное выражение: \(m^2 — 2m^3 — m^4\).

2. Ищем общий множитель: Во всех слагаемых есть \(m^2\), то есть это наибольший общий множитель. Мы можем вынести \(m^2\) за скобки.

3. Вынесем общий множитель: Мы выносим \(m^2\) за скобки:

\(
m^2 — 2m^3 — m^4 = m^2(1 — 2m — m^2)
\)

4. Заключение: Мы видим, что выражение в скобках — это многочлен \(1 — 2m — m^2\), который не можно разложить дальше на простые множители с целыми коэффициентами. В нем нет общих множителей, и его нельзя упростить.

Ответ: \(m^2 — 2m^3 — m^4 = m^2(1 — 2m — m^2)\).

в) \(4a^5 — 2a^3 + a\)

1. Исходное выражение: \(4a^5 — 2a^3 + a\).

2. Ищем общий множитель: Мы видим, что все слагаемые содержат хотя бы одну степень \(a\), и наибольшая степень, которая встречается в каждом слагаемом, это \(a\), так как минимальная степень среди всех слагаемых — это \(a\).

3. Вынесем общий множитель: Мы выносим \(a\) за скобки:

\(
4a^5 — 2a^3 + a = a(4a^4 — 2a^2 + 1)
\)

4. Заключение: Внутри скобок у нас остается выражение \(4a^4 — 2a^2 + 1\), которое не имеет общего множителя между всеми членами, и его нельзя разложить дальше.

Ответ: \(4a^5 — 2a^3 + a = a(4a^4 — 2a^2 + 1)\).

г) \(6x^2 — 4x^3 + 10x^4\)

1. Исходное выражение: \(6x^2 — 4x^3 + 10x^4\).

2. Ищем общий множитель: Все слагаемые содержат \(x^2\), что является наибольшим общим множителем, так как минимальная степень среди всех слагаемых — это \(x^2\).

3. Вынесем общий множитель: Мы выносим \(2x^2\) за скобки, так как 6, 4, 10 имеют общий множитель 2:

\(
6x^2 — 4x^3 + 10x^4 = 2x^2(3 — 2x + 5x^2)
\)

4. Заключение: Внутри скобок у нас получается выражение \(3 — 2x + 5x^2\), которое не может быть разложено дальше на множители.

Ответ: \(6x^2 — 4x^3 + 10x^4 = 2x^2(3 — 2x + 5x^2)\).

д) \(15a^3 — 9a^2 + 6a\)

1. Исходное выражение: \(15a^3 — 9a^2 + 6a\).

2. Ищем общий множитель: Все слагаемые содержат \(a\), а также можно заметить, что у коэффициентов 15, 9, 6 есть общий множитель 3. Следовательно, наибольший общий множитель — это \(3a\).

3. Вынесем общий множитель: Мы выносим \(3a\) за скобки:

\(
15a^3 — 9a^2 + 6a = 3a(5a^2 — 3a + 2)
\)

4. Заключение: Внутри скобок у нас получается выражение \(5a^2 — 3a + 2\), которое уже нельзя разложить на множители.

Ответ: \(15a^3 — 9a^2 + 6a = 3a(5a^2 — 3a + 2)\).

е) \(-3m^2 — 6m^3 + 12m^5\)

1. Исходное выражение: \(-3m^2 — 6m^3 + 12m^5\).

2. Ищем общий множитель: Все слагаемые содержат \(m^2\), и также можно заметить, что коэффициенты -3, -6, 12 имеют общий множитель -3. Следовательно, наибольший общий множитель — это \(-3m^2\).

3. Вынесем общий множитель: Мы выносим \(-3m^2\) за скобки:

\(
-3m^2 — 6m^3 + 12m^5 = -3m^2(1 + 2m — 4m^3)
\)

4. Заключение: Внутри скобок у нас получается выражение \(1 + 2m — 4m^3\), которое нельзя разложить на множители.

Ответ: \(-3m^2 — 6m^3 + 12m^5 = -3m^2(1 + 2m — 4m^3)\).

Общее объяснение:

1. Ищем общий множитель: Для всех многочленов мы находим наибольший общий множитель для всех слагаемых.
2. Вынесение общего множителя: После нахождения общего множителя, мы выносим его за скобки, чтобы упростить выражение.
3. Решение внутри скобок: Внутри скобок остаются выражения, которые мы не можем упростить или разложить дальше, если они не имеют очевидных множителей.

В этих примерах основным методом является вынесение общего множителя из каждого слагаемого. Это помогает упростить выражение и доказать делимость или упростить многочлены.