Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 684 Макарычев — Подробные Ответы
Вынесите за скобки общий множитель:
а) \(3a^3 — 15a^2b + 5ab^2\);
б) \(20x^4 — 25x^2y^2 — 10x^3\);
в) \(-6am^2 + 9m^3 — 12m^4\);
г) \(12a^2b — 18ab^2 — 30ab^3\);
д) \(4ax^3 + 8a^2x^2 — 12a^3x\);
е) \(-3x^4y^2 — 6x^2y^2 + 9x^2y^4\).
а) \(3a^3 — 15a^2b + 5ab^2 = a(3a^2 — 15ab + 5b^2)\)
б) \(20x^4 — 25x^2y^2 — 10x^3 = 5x^2(4x^2 — 5y^2 — 2x)\)
в) \(-6am^2 + 9m^3 — 12m^4 = -3m^2(2a — 3m + 4m^2)\)
г) \(12a^2b — 18ab^2 — 30ab^3 = 6ab(2a — 3b — 5b^2)\)
д) \(4ax^3 + 8a^2x^2 — 12a^3x = 4ax(x^2 + 2ax — 3a^2)\)
е) \(-3x^4y^2 — 6x^2y^2 + 9x^2y^4 = -3x^2y^2(x^2 + 2 — 3y^2)\)
а) \(3a^3 — 15a^2b + 5ab^2\)
1. Исходное выражение: \(3a^3 — 15a^2b + 5ab^2\).
Посмотрим на все слагаемые и определим, какой общий множитель можно вынести.
2. Ищем общий множитель:
В \(3a^3\) есть \(a^3\), и коэффициент равен 3.
В \(-15a^2b\) есть \(a^2b\), и коэффициент равен -15.
В \(5ab^2\) есть \(ab^2\), и коэффициент равен 5.
Наибольший общий множитель среди всех слагаемых — это \(a\), потому что это минимальная степень \(a\), которая встречается во всех слагаемых. Также мы видим, что коэффициенты 3, -15 и 5 имеют общий множитель 1. Следовательно, общий множитель для всех слагаемых — это \(a\).
3. Вынесем общий множитель: Вынесем \(a\) за скобки:
\(3a^3 — 15a^2b + 5ab^2 = a(3a^2 — 15ab + 5b^2)\)
4. Заключение: Мы разложили выражение на множители, вынеся \(a\), а в скобках осталось выражение \(3a^2 — 15ab + 5b^2\), которое не может быть разложено на более простые множители.
Ответ: \(3a^3 — 15a^2b + 5ab^2 = a(3a^2 — 15ab + 5b^2)\).
б) \(20x^4 — 25x^2y^2 — 10x^3\)
1. Исходное выражение: \(20x^4 — 25x^2y^2 — 10x^3\).
Рассмотрим степени переменных и коэффициенты.
2. Ищем общий множитель:
В \(20x^4\) есть \(x^4\), и коэффициент равен 20.
В \(-25x^2y^2\) есть \(x^2y^2\), и коэффициент равен -25.
В \(-10x^3\) есть \(x^3\), и коэффициент равен -10.
Для коэффициентов общий множитель — это 5, потому что 5 является наибольшим делителем для 20, 25 и 10. Также все слагаемые содержат \(x^2\), следовательно, наибольший общий множитель — это \(5x^2\).
3. Вынесем общий множитель: Вынесем \(5x^2\) за скобки:
\(20x^4 — 25x^2y^2 — 10x^3 = 5x^2(4x^2 — 5y^2 — 2x)\)
4. Заключение: Мы разложили выражение на множители, вынеся \(5x^2\), а в скобках осталось выражение \(4x^2 — 5y^2 — 2x\), которое не может быть разложено на более простые множители.
Ответ: \(20x^4 — 25x^2y^2 — 10x^3 = 5x^2(4x^2 — 5y^2 — 2x)\).
в) \(-6am^2 + 9m^3 — 12m^4\)
1. Исходное выражение: \(-6am^2 + 9m^3 — 12m^4\).
2. Ищем общий множитель:
В \(-6am^2\) есть \(am^2\), и коэффициент равен -6.
В \(9m^3\) есть \(m^3\), и коэффициент равен 9.
В \(-12m^4\) есть \(m^4\), и коэффициент равен -12.
Наибольший общий множитель среди коэффициентов — это -3, так как -3 является наибольшим делителем для -6, 9 и -12. Все слагаемые содержат \(m^2\), следовательно, наибольший общий множитель для всех слагаемых — это \(-3m^2\).
3. Вынесем общий множитель: Вынесем \(-3m^2\) за скобки:
\(-6am^2 + 9m^3 — 12m^4 = -3m^2(2a — 3m + 4m^2)\)
4. Заключение: Мы разложили выражение на множители, вынеся \(-3m^2\), а в скобках осталось выражение \(2a — 3m + 4m^2\), которое не может быть разложено на более простые множители.
Ответ: \(-6am^2 + 9m^3 — 12m^4 = -3m^2(2a — 3m + 4m^2)\).
г) \(12a^2b — 18ab^2 — 30ab^3\)
1. Исходное выражение: \(12a^2b — 18ab^2 — 30ab^3\).
2. Ищем общий множитель: Посмотрим на коэффициенты и степени переменных:
В \(12a^2b\) есть \(a^2b\), и коэффициент равен 12.
В \(-18ab^2\) есть \(ab^2\), и коэффициент равен -18.
В \(-30ab^3\) есть \(ab^3\), и коэффициент равен -30.
Общий множитель среди коэффициентов — это 6, так как 6 — это наибольший общий делитель для 12, 18 и 30. Все слагаемые содержат \(ab\), следовательно, наибольший общий множитель для всех слагаемых — это \(6ab\).
3. Вынесем общий множитель: Вынесем \(6ab\) за скобки:
\(12a^2b — 18ab^2 — 30ab^3 = 6ab(2a — 3b — 5b^2)\)
4. Заключение: Мы разложили выражение на множители, вынеся \(6ab\), а в скобках осталось выражение \(2a — 3b — 5b^2\), которое не может быть разложено на более простые множители.
Ответ: \(12a^2b — 18ab^2 — 30ab^3 = 6ab(2a — 3b — 5b^2)\).
д) \(4ax^3 + 8a^2x^2 — 12a^3x\)
Исходное выражение:
\(
4ax^3 + 8a^2x^2 — 12a^3x
\)
Шаг 1: Ищем общий множитель
1. Рассмотрим все слагаемые:
В первом слагаемом \(4ax^3\) есть \(a\) и степень \(x\) равна 3.
Во втором слагаемом \(8a^2x^2\) есть \(a^2\) и степень \(x\) равна 2.
В третьем слагаемом \(-12a^3x\) есть \(a^3\) и степень \(x\) равна 1.
2. Мы видим, что каждый член содержит переменную \(x\), и наименьшая степень \(x\), которая встречается во всех слагаемых, это \(x\). Также все слагаемые содержат степень \(a\), и наименьшая степень \(a\) в каждом слагаемом — это \(a\).
3. Таким образом, наибольший общий множитель для всех слагаемых будет \(4ax\), так как:
У коэффициентов 4, 8, -12 наибольший общий множитель — это 4.
Все слагаемые содержат хотя бы одну степень \(x\), и минимальная степень \(x\) — это \(x\).
Все слагаемые содержат хотя бы одну степень \(a\), и минимальная степень \(a\) — это \(a\).
Шаг 2: Вынесем общий множитель
Теперь мы можем вынести \(4ax\) за скобки:
\(
4ax^3 + 8a^2x^2 — 12a^3x = 4ax(x^2 + 2ax — 3a^2)
\)
Шаг 3: Проверим выражение внутри скобок
После того как мы вынесли \(4ax\), в скобках осталось выражение \(x^2 + 2ax — 3a^2\).
1. Это выражение \(x^2 + 2ax — 3a^2\) является многочленом второй степени относительно \(x\), и его нельзя разложить дальше на множители с целыми коэффициентами, так как оно не имеет простых множителей.
Заключение: Мы разложили исходное выражение на множители, вынеся \(4ax\), а в скобках осталось выражение \(x^2 + 2ax — 3a^2\), которое не может быть разложено на более простые множители.
Ответ: \(4ax^3 + 8a^2x^2 — 12a^3x = 4ax(x^2 + 2ax — 3a^2)\)
е) \(-3x^4y^2 — 6x^2y^2 + 9x^2y^4\)
1. Исходное выражение: \(-3x^4y^2 — 6x^2y^2 + 9x^2y^4\).
2. Ищем общий множитель: Посмотрим на коэффициенты и степени переменных:
В \(-3x^4y^2\) есть \(x^4y^2\), и коэффициент равен -3.
В \(-6x^2y^2\) есть \(x^2y^2\), и коэффициент равен -6.
В \(9x^2y^4\) есть \(x^2y^4\), и коэффициент равен 9.
Общий множитель среди коэффициентов — это -3, так как -3 — это наибольший общий делитель для -3, -6 и 9. Все слагаемые содержат \(x^2y^2\), следовательно, наибольший общий множитель для всех слагаемых — это \(-3x^2y^2\).
3. Вынесем общий множитель: Вынесем \(-3x^2y^2\) за скобки:
\(-3x^4y^2 — 6x^2y^2 + 9x^2y^4 = -3x^2y^2(x^2 + 2 — 3y^2)\)
4. Заключение: Мы разложили выражение на множители, вынеся \(-3x^2y^2\), а в скобках осталось выражение \(x^2 + 2 — 3y^2\), которое не может быть разложено на более простые множители.
Ответ: \(-3x^4y^2 — 6x^2y^2 + 9x^2y^4 = -3x^2y^2(x^2 + 2 — 3y^2)\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.