ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 685 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:
а) \(4c^4 — 6x^2c^2 + 8c\);
б) \(10a^2x — 15a^3 — 20a^4x\);
в) \(3ax — 6ax^2 — 9a^2x\);
г) \(8a^4b^3 — 12a^2b^4 + 16a^3b^2\).

a) \(4c^4 — 6x^2c^2 + 8c = 2c(2c^3 — 3x^2c + 4)\)

б) \(10a^2x — 15a^3 — 20a^4x = 5a^2(2x — 3a — 4a^2x)\)

в) \(3ax — 6ax^2 — 9a^2x = 3ax(1 — 2x — 3a)\)

г) \(8a^4b^3 — 12a^2b^4 + 16a^3b^2 = 4a^2b^2(2a^2b — 3b^2 + 4a)\)

а) \(4c^4 — 6x^2c^2 + 8c\)

1. Исходное выражение: \(4c^4 — 6x^2c^2 + 8c\).

2. Ищем общий множитель: Посмотрим на слагаемые:

В первом слагаемом \(4c^4\) есть \(c^4\), и коэффициент равен 4.
Во втором слагаемом \(-6x^2c^2\) есть \(c^2\), и коэффициент равен -6.
В третьем слагаемом \(8c\) есть \(c^1\), и коэффициент равен 8.

Все слагаемые содержат хотя бы одну степень \(c\), и наименьшая степень \(c\), которая встречается во всех слагаемых, — это \(c\). Также у коэффициентов 4, -6 и 8 есть общий множитель 2.

3. Вынесем общий множитель: Мы можем вынести \(2c\) за скобки, так как это наибольший общий множитель:

\( 4c^4 — 6x^2c^2 + 8c = 2c(2c^3 — 3x^2c + 4) \)

4. Заключение: Мы разложили выражение на множители, вынеся \(2c\), а в скобках осталось \(2c^3 — 3x^2c + 4\), которое уже не может быть разложено на более простые множители.

Ответ: \(4c^4 — 6x^2c^2 + 8c = 2c(2c^3 — 3x^2c + 4)\).

б) \(10a^2x — 15a^3 — 20a^4x\)

1. Исходное выражение: \(10a^2x — 15a^3 — 20a^4x\).

2. Ищем общий множитель: Посмотрим на степени \(a\) и \(x\) в каждом слагаемом:

В \(10a^2x\) есть \(a^2x\), и коэффициент равен 10.
В \(-15a^3\) есть \(a^3\), и коэффициент равен -15.
В \(-20a^4x\) есть \(a^4x\), и коэффициент равен -20.

Общий множитель среди коэффициентов — это 5, так как 5 является наибольшим общим делителем для 10, 15 и 20. Все слагаемые содержат \(a^2\), и слагаемые с \(x\) содержат \(x\). Следовательно, наибольший общий множитель — это \(5a^2\).

3. Вынесем общий множитель: Мы выносим \(5a^2\) за скобки:

\( 10a^2x — 15a^3 — 20a^4x = 5a^2(2x — 3a — 4a^2x) \)

4. Заключение: Мы разложили выражение на множители, вынеся \(5a^2\), а в скобках осталось \(2x — 3a — 4a^2x\), которое не может быть разложено на более простые множители.

Ответ: \(10a^2x — 15a^3 — 20a^4x = 5a^2(2x — 3a — 4a^2x)\).

в) \(3ax — 6ax^2 — 9a^2x\)

1. Исходное выражение: \(3ax — 6ax^2 — 9a^2x\).

2. Ищем общий множитель: Посмотрим на коэффициенты и степени \(a\) и \(x\):

В \(3ax\) есть \(ax\), и коэффициент равен 3.
В \(-6ax^2\) есть \(ax^2\), и коэффициент равен -6.
В \(-9a^2x\) есть \(a^2x\), и коэффициент равен -9.

Общий множитель среди коэффициентов — это 3, так как 3 является наибольшим общим делителем для 3, -6 и -9. Все слагаемые содержат \(ax\), следовательно, наибольший общий множитель — это \(3ax\).

3. Вынесем общий множитель: Мы выносим \(3ax\) за скобки:

\( 3ax — 6ax^2 — 9a^2x = 3ax(1 — 2x — 3a) \)

4. Заключение: Мы разложили выражение на множители, вынеся \(3ax\), а в скобках осталось \(1 — 2x — 3a\), которое не может быть разложено на более простые множители.

Ответ: \(3ax — 6ax^2 — 9a^2x = 3ax(1 — 2x — 3a)\).

г) \(8a^4b^3 — 12a^2b^4 + 16a^3b^2\)

1. Исходное выражение: \(8a^4b^3 — 12a^2b^4 + 16a^3b^2\).

2. Ищем общий множитель: Посмотрим на коэффициенты и степени \(a\) и \(b\):

В \(8a^4b^3\) есть \(a^4b^3\), и коэффициент равен 8.
В \(-12a^2b^4\) есть \(a^2b^4\), и коэффициент равен -12.
В \(16a^3b^2\) есть \(a^3b^2\), и коэффициент равен 16.

Общий множитель среди коэффициентов — это 4, так как 4 является наибольшим общим делителем для 8, 12 и 16. Все слагаемые содержат \(a^2b^2\), следовательно, наибольший общий множитель — это \(4a^2b^2\).

3. Вынесем общий множитель: Мы выносим \(4a^2b^2\) за скобки:

\( 8a^4b^3 — 12a^2b^4 + 16a^3b^2 = 4a^2b^2(2a^2b — 3b^2 + 4a) \)

4. Заключение: Мы разложили выражение на множители, вынеся \(4a^2b^2\), а в скобках осталось выражение \(2a^2b — 3b^2 + 4a\), которое не может быть разложено на более простые множители.

Ответ: \(8a^4b^3 — 12a^2b^4 + 16a^3b^2 = 4a^2b^2(2a^2b — 3b^2 + 4a)\).

Подробное объяснение каждого шага:

1. Ищем общий множитель: Для каждого выражения мы ищем наибольший общий множитель среди всех слагаемых. Это самый важный шаг, потому что он позволяет упростить выражение и представить его как произведение множителей.

2. Вынесение общего множителя: После нахождения общего множителя, мы выносим его за скобки. Это позволяет выразить многочлен в виде произведения двух множителей: один из которых — это общий множитель, а второй — оставшаяся часть выражения.

3. Что остается внутри скобок: После вынесения общего множителя, внутри скобок остаются выражения, которые не могут быть разложены на более простые множители. Если выражение внутри скобок не имеет очевидных множителей или не является квадратным/кубическим, мы оставляем его в исходной форме.

В этих примерах мы использовали метод вынесения общего множителя, что позволило преобразовать многочлены в произведение двух множителей, упростив их и доказав делимость на определенные числа.