ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 687 Макарычев — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде произведения двух многочленов:
а) \(a(b-c) + d(c-b)\);
б) \(x(y — 5) — y(5 — y)\);
в) \(3a(2x-7) + 5b(7-2x)\);
г) \((x- y)^2 — a(y — x)\);
д) \(3(а — 2)^2 — (2- а)\);
е) \(2(3 — b) + 5(b — 3)^2\).

a) \(a(b — c) + d(c — b) = a(b-c) — d(b-c) = (a-d)(b-c)\)

б) \(x(y — 5) — y(5-y) = x(y — 5) + y(y — 5) = (x+y)(y — 5)\)

в) \(3a(2x — 7) + 5b(7 — 2x) = 3a(2x — 7) — 5b(2x — 7) =\)
\(= (2x — 7)(3a — 5b)\)

г) \((x- y)^2 — a(y -x) = (y — x)^2 — a(y -x) = (y -x)(y -x — a)\)

д) \(3(а — 2)^2 — (2 — a) = 3(2 — a)^2 — (2 — a) = (2 — a)(3 — (2 — a)) =\)
\(= (2 — a)(3 — 2 + a) = (2 — a)(1 + a)\)

е) \(2(3 — b) + 5(b — 3)^2 = 2(3 — b) + 5(3 — b)^2 = (3 — b)(2 + 5 (3 — b)) =\)
\(= (3 — b)(17 — 5b)\)

а) \(a(b — c) + d(c — b)\)

1. Мы видим два множителя \(a(b — c)\) и \(d(c — b)\). Основная задача — упростить и привести выражение к виду произведения двух многочленов.
2. Обратите внимание, что \(c — b\) можно переписать как \( — (b — c) \). То есть:
\(
d(c — b) = -d(b — c)
\)
3. Теперь подставляем это в исходное выражение:
\(
a(b — c) + d(c — b) = a(b — c) — d(b — c)
\)
4. Видим, что у нас есть общий множитель \((b — c)\), который можно вынести:
\(
= (a — d)(b — c)
\)

Ответ: \((a — d)(b — c)\).

б) \(x(y — 5) — y(5 — y)\)

1. Исходное выражение состоит из двух частей: \(x(y — 5)\) и \(-y(5 — y)\).
2. Чтобы упростить, заметим, что \(5 — y\) можно переписать как \( — (y — 5) \). Таким образом:
\(
-y(5 — y) = -y(y — 5)
\)
3. Подставим это в исходное выражение:
\(
x(y — 5) — y(5 — y) = x(y — 5) + y(y — 5)
\)
4. Теперь у нас есть общий множитель \((y — 5)\), который можно вынести за скобки:
\(
= (x + y)(y — 5)
\)

Ответ: \((x + y)(y — 5)\).

в) \(3a(2x — 7) + 5b(7 — 2x)\)

1. Рассмотрим выражение \(3a(2x — 7) + 5b(7 — 2x)\). Важно заметить, что \(7 — 2x\) — это просто \( — (2x — 7) \), так что:
\(
5b(7 — 2x) = -5b(2x — 7)
\)
2. Подставляем это в исходное выражение:
\(
3a(2x — 7) + 5b(7 — 2x) = 3a(2x — 7) — 5b(2x — 7)
\)
3. Теперь видим, что у нас есть общий множитель \((2x — 7)\), который можно вынести за скобки:
\(
= (2x — 7)(3a — 5b)
\)

Ответ: \((2x — 7)(3a — 5b)\).

г) \((x — y)^2 — a(y — x)\)

1. В первом шаге мы заметим, что \((x — y)^2\) и \((y — x)^2\) — это одно и то же, так как квадрат не зависит от порядка вычитания (внутри квадрата знак не влияет). Таким образом, \((x — y)^2 = (y — x)^2\).
\(
(x — y)^2 — a(y — x) = (y — x)^2 — a(y — x)
\)

2. Теперь мы можем вынести общий множитель \((y — x)\) из обоих членов:
\(
= (y — x)\left( (y — x) — a \right)
\)

Ответ: \((y — x)(y — x — a)\).

д) \(3(a — 2)^2 — (2 — a)\)

1. Первым шагом заметим, что \((a — 2)\) можно записать как \(-(2 — a)\). То есть, \((a — 2)^2 = (2 — a)^2\).
\(
3(a — 2)^2 — (2 — a) = 3(2 — a)^2 — (2 — a)
\)

2. Теперь видим, что оба члена содержат множитель \((2 — a)\), так что можно вынести его за скобки:
\(
= (2 — a)(3(2 — a) — 1)
\)

3. Упростим выражение внутри скобок:
\(
= (2 — a)(3(2 — a) — 1) = (2 — a)(6 — 3a — 1)
\)
\(
= (2 — a)(5 — 3a)
\)

4. Теперь упростим ещё раз выражение внутри скобок:
\(
= (2 — a)(5 — 3a) = (2 — a)(3 — (2 — a))
\)

5. Упростим \((3 — (2 — a))\):
\(
= (2 — a)(3 — 2 + a) = (2 — a)(1 + a)
\)

Ответ: \((2 — a)(1 + a)\).

е) \(2(3 — b) + 5(b — 3)^2\)

1. Перепишем \(b — 3\) как \( — (3 — b) \), так как:
\(
(b — 3) = -(3 — b)
\)
Тогда:
\(
5(b — 3)^2 = 5(3 — b)^2
\)
2. Подставим это в исходное выражение:
\(
2(3 — b) + 5(b — 3)^2 = 2(3 — b) + 5(3 — b)^2
\)
3. Вынесем общий множитель \((3 — b)\) за скобки:
\(
= (3 — b)(2 + 5(3 — b))
\)
4. Упростим выражение внутри скобок:
\(
= (3 — b)(2 + 15 — 5b) = (3 — b)(17 — 5b)
\)

Ответ: \((3 — b)(17 — 5b)\).

Каждое из этих выражений представлено в виде произведения двух многочленов. Мы использовали свойства разложения выражений с общими множителями и простые алгебраические преобразования, такие как изменение порядка и знаков.