ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 727 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:
а) x³ + x² + x + 1;
б) y⁵ — y³ — y² + 1;
в) a⁴ + 2a³ — a — 2;
г) b⁶ — 3b⁴ — 2b² + 6;
д) a² — ab — 8a + 8b;
е) ab — 3b + b² — 3a;
ж) 11x — xy + 11y — x²;
з) kn — mn — n² + mk.

a) x³ + x² + x + 1 = (x³ + x²) + (x + 1) = x²(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x² + 1)

б) y⁵ — y³ — y² + 1 = (y⁵ — y³) + (-y² + 1) = y³(y² — 1) — 1(y² — 1) =
= (y² — 1)(y³ — 1)

в) a⁴ + 2a³ — a — 2 = (a⁴ + 2a³) + (-a — 2) = a³(a + 2) — 1(a + 2) =
= (a + 2)(a³ — 1)

г) b⁶ — 3b⁴ — 2b² + 6 = (b⁶ — 3b⁴) + (-2b² + 6) = b⁴(b² — 3) — 2(b² — 3) =
= (b² — 3)(b⁴ — 2)

д) a² — ab — 8a + 8b = (a² — ab) + (-8a + 8b) = a(a — b) — 8(a — b) =
= (a — b)(a — 8)

е) ab — 3b + b² — 3a = (ab — 3a) + (-3b + b²) = a(b — 3) + b(-3 + b) =
= (b — 3)(a + b)

ж) 11x — xy + 11y — x² = (11x + 11y) + (-xy — x²) = 11(x + y) — x(y + x) =
= (x + y)(11 — x)

з) kn — mn — n² + mk = (kn — n²) + (-mn + mk) = n(k — n) + m(-n + k) =
= (k — n)(n + m)

а) \(x^3 + x^2 + x + 1\):
1. В данном выражении четыре слагаемых: \(x^3\), \(x^2\), \(x\), \(1\).
2. Разобьем многочлен на две группы: \((x^3 + x^2)\) и \((x + 1)\).
3. В первой группе \((x^3 + x^2)\) вынесем общий множитель \(x^2\):
\(x^3 + x^2 = x^2(x + 1)\).
4. Во второй группе \((x + 1)\) общий множитель уже выделен:
\(x + 1 = 1(x + 1)\).
5. Теперь перепишем выражение, сгруппировав результаты:
\(x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1)\).
6. Заметим, что в обеих группах есть общий множитель \((x + 1)\). Вынесем его за скобки:
\(x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1)\).

Ответ: \((x + 1)(x^2 + 1)\).

б) \(y^5 — y^3 — y^2 + 1\):
1. В данном выражении четыре слагаемых: \(y^5\), \(-y^3\), \(-y^2\), \(1\).
2. Разобьем многочлен на две группы: \((y^5 — y^3)\) и \((-y^2 + 1)\).
3. В первой группе \((y^5 — y^3)\) вынесем общий множитель \(y^3\):
\(y^5 — y^3 = y^3(y^2 — 1)\).
4. Во второй группе \((-y^2 + 1)\) вынесем общий множитель \(-1\):
\(-y^2 + 1 = -1(y^2 — 1)\).
5. Теперь перепишем выражение, сгруппировав результаты:
\(y^5 — y^3 — y^2 + 1 = y^3(y^2 — 1) — 1(y^2 — 1)\).
6. Заметим, что в обеих группах есть общий множитель \((y^2 — 1)\). Вынесем его за скобки:
\(y^3(y^2 — 1) — 1(y^2 — 1) = (y^2 — 1)(y^3 — 1)\).

Ответ: \((y^2 — 1)(y^3 — 1)\).

в) \(a^4 + 2a^3 — a — 2\):
1. В данном выражении четыре слагаемых: \(a^4\), \(2a^3\), \(-a\), \(-2\).
2. Разобьем многочлен на две группы: \((a^4 + 2a^3)\) и \((-a — 2)\).
3. В первой группе \((a^4 + 2a^3)\) вынесем общий множитель \(a^3\):
\(a^4 + 2a^3 = a^3(a + 2)\).
4. Во второй группе \((-a — 2)\) вынесем общий множитель \(-1\):
\(-a — 2 = -1(a + 2)\).
5. Теперь перепишем выражение, сгруппировав результаты:
\(a^4 + 2a^3 — a — 2 = a^3(a + 2) — 1(a + 2)\).
6. Заметим, что в обеих группах есть общий множитель \((a + 2)\). Вынесем его за скобки:
\(a^3(a + 2) — 1(a + 2) = (a + 2)(a^3 — 1)\).

Ответ: \((a + 2)(a^3 — 1)\).

г) \(b^6 — 3b^4 — 2b^2 + 6\):
1. В данном выражении четыре слагаемых: \(b^6\), \(-3b^4\), \(-2b^2\), \(6\).
2. Разобьем многочлен на две группы: \((b^6 — 3b^4)\) и \((-2b^2 + 6)\).
3. В первой группе \((b^6 — 3b^4)\) вынесем общий множитель \(b^4\):
\(b^6 — 3b^4 = b^4(b^2 — 3)\).
4. Во второй группе \((-2b^2 + 6)\) вынесем общий множитель \(-2\):
\(-2b^2 + 6 = -2(b^2 — 3)\).
5. Теперь перепишем выражение, сгруппировав результаты:
\(b^6 — 3b^4 — 2b^2 + 6 = b^4(b^2 — 3) — 2(b^2 — 3)\).
6. Заметим, что в обеих группах есть общий множитель \((b^2 — 3)\). Вынесем его за скобки:
\(b^4(b^2 — 3) — 2(b^2 — 3) = (b^2 — 3)(b^4 — 2)\).

Ответ: \((b^2 — 3)(b^4 — 2)\).

д) \(a^2 — ab — 8a + 8b\):
1. В данном выражении четыре слагаемых: \(a^2\), \(-ab\), \(-8a\), \(8b\).
2. Разобьем многочлен на две группы: \((a^2 — ab)\) и \((-8a + 8b)\).
3. В первой группе \((a^2 — ab)\) вынесем общий множитель \(a\):
\(a^2 — ab = a(a — b)\).
4. Во второй группе \((-8a + 8b)\) вынесем общий множитель \(-8\):
\(-8a + 8b = -8(a — b)\).
5. Теперь перепишем выражение, сгруппировав результаты:
\(a^2 — ab — 8a + 8b = a(a — b) — 8(a — b)\).
6. Заметим, что в обеих группах есть общий множитель \((a — b)\). Вынесем его за скобки:
\(a(a — b) — 8(a — b) = (a — b)(a — 8)\).

Ответ: \((a — b)(a — 8)\).

е) \(ab — 3b + b^2 — 3a\):
1. В данном выражении четыре слагаемых: \(ab\), \(-3b\), \(b^2\), \(-3a\).
2. Разобьем многочлен на две группы: \((ab — 3a)\) и \((-3b + b^2)\).
3. В первой группе \((ab — 3a)\) вынесем общий множитель \(a\):
\(ab — 3a = a(b — 3)\).
4. Во второй группе \((-3b + b^2)\) вынесем общий множитель \(b\):
\(-3b + b^2 = b(b — 3)\).
5. Теперь перепишем выражение, сгруппировав результаты:
\(ab — 3b + b^2 — 3a = a(b — 3) + b(b — 3)\).
6. Заметим, что в обеих группах есть общий множитель \((b — 3)\). Вынесем его за скобки:
\(a(b — 3) + b(b — 3) = (b — 3)(a + b)\).

Ответ: \((b — 3)(a + b)\).

ж) \(11x — xy + 11y — x^2\):
1. В данном выражении четыре слагаемых: \(11x\), \(-xy\), \(11y\), \(-x^2\).
2. Разобьем многочлен на две группы: \((11x + 11y)\) и \((-xy — x^2)\).
3. В первой группе \((11x + 11y)\) вынесем общий множитель \(11\):
\(11x + 11y = 11(x + y)\).
4. Во второй группе \((-xy — x^2)\) вынесем общий множитель \(-x\):
\(-xy — x^2 = -x(y + x)\).
5. Теперь перепишем выражение, сгруппировав результаты:
\(11x — xy + 11y — x^2 = 11(x + y) — x(x + y)\).
6. Заметим, что в обеих группах есть общий множитель \((x + y)\). Вынесем его за скобки:
\(11(x + y) — x(x + y) = (x + y)(11 — x)\).

Ответ: \((x + y)(11 — x)\).

з) \(kn — mn — n^2 + mk\):
1. В данном выражении четыре слагаемых: \(kn\), \(-mn\), \(-n^2\), \(mk\).
2. Разобьем многочлен на две группы: \((kn — n^2)\) и \((-mn + mk)\).
3. В первой группе \((kn — n^2)\) вынесем общий множитель \(n\):
\(kn — n^2 = n(k — n)\).
4. Во второй группе \((-mn + mk)\) вынесем общий множитель \(m\):
\(-mn + mk = m(-n + k)\).
5. Теперь перепишем выражение, сгруппировав результаты:
\(kn — mn — n^2 + mk = n(k — n) + m(-n + k)\).
6. Заметим, что в обеих группах выражение в скобках одинаково, но во второй группе порядок слагаемых обратный. Преобразуем \((-n + k)\) в \((k — n)\):
\(n(k — n) + m(-n + k) = n(k — n) + m(k — n)\).
7. Теперь вынесем общий множитель \((k — n)\):
\(n(k — n) + m(k — n) = (k — n)(n + m)\).

Ответ: \((k — n)(n + m)\).