ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 745 Макарычев — Подробные Ответы

Верно ли, что при любых целых значениях a и b произведение ab(a + b)(a — b) делится на 3?

1) Если хотя бы одно из чисел \( a \) или \( b \) делится на 3, или оба числа \( a \) и \( b \) делятся на 3, то согласно свойству делимости, произведение \( ab(a + b)(a — b) \) также будет делиться на 3.

2) Если числа \( a \) и \( b \) не делятся на 3, то они могут иметь либо одинаковые остатки, либо различные остатки при делении на 3.

а) Если остатки различны, числа можно представить следующим образом: \( a = 3x + 1 \), \( b = 3y + 2 \) или \( a = 3x + 2 \), \( b = 3y + 1 \). Тогда выражение для произведения будет таким:

\( ab(a + b)(a — b) = (3x + 1)(3y + 2)(3x + 1 + 3y + 2)(3x + 1 — (3y +\)
\(+ 2)) = (3x + 1)(3y + 2)(3x + 3y + 3)(3x — 3y — 1) \)

Здесь множитель \( 3x + 3y + 3 \) делится на 3, следовательно, и всё произведение делится на 3.

б) Если остатки одинаковы, то числа можно записать так: \( a = 3x + 1 \), \( b = 3y + 1 \) или \( a = 3x + 2 \), \( b = 3y + 2 \). Тогда выражение для произведения будет:

\( ab(a + b)(a — b) = (3x + 1)(3y + 1)(3x + 1 + 3y + 1)(3x + 1 — (3y +\)
\(+ 1)) = (3x + 1)(3y + 1)(3x + 3y + 2)(3x — 3y) \)

В этом случае множитель \( 3x — 3y \) делится на 3, следовательно, всё произведение делится на 3.

Таким образом, в любом случае выражение \( ab(a + b)(a — b) \) делится на 3 для любых целых чисел \( a \) и \( b \).

1. Случай, когда хотя бы одно из чисел \( a \) или \( b \) делится на \( 3 \):

— Если \( a \) делится на \( 3 \), то \( a = 3k \) для некоторого целого числа \( k \). Таким образом, произведение \( ab(a + b)(a — b) = (3k)b(a + b)(a — b) \) будет делиться на \( 3 \), потому что множитель \( 3k \) уже содержит \( 3 \).
— Если \( b \) делится на \( 3 \), аналогично, если \( b = 3m \) для некоторого целого числа \( m \), то произведение \( ab(a + b)(a — b) = a(3m)(a + b)(a — b) \) будет делиться на \( 3 \).
— Если оба числа делятся на \( 3 \), то произведение очевидно делится на \( 3 \), так как оба множителя \( a \) и \( b \) содержат в себе множитель \( 3 \).

2. Случай, когда оба числа \( a \) и \( b \) не делятся на \( 3 \):

В этом случае мы исследуем остатки от деления на \( 3 \). Возможные остатки — это \( 1 \) или \( 2 \), поскольку остаток \( 0 \) означал бы, что число делится на \( 3 \).

а) Если остатки различны:

— Представим числа так:
— Пусть \( a = 3x + 1 \) и \( b = 3y + 2 \), или наоборот, \( a = 3x + 2 \) и \( b = 3y + 1 \).

Рассмотрим первый случай: \( a = 3x + 1 \) и \( b = 3y + 2 \).

Подставим эти выражения в наше произведение:
\(
ab(a + b)(a — b) = (3x + 1)(3y + 2)((3x + 1) + (3y + 2))((3x + 1) -\)
\(- (3y + 2))\)

Упрощаем:
— Сложение: \( (3x + 1) + (3y + 2) = 3x + 3y + 3 \)
— Вычитание: \( (3x + 1) — (3y + 2) = 3x — 3y — 1 \)

Таким образом, выражение становится:
\(
ab(a + b)(a — b) = (3x + 1)(3y + 2)(3x + 3y + 3)(3x — 3y — 1)
\)

Здесь множитель \( 3x + 3y + 3 \) делится на \( 3 \), следовательно, всё произведение делится на \( 3 \).

б) Если остатки одинаковы:

Рассмотрим случай, когда оба числа имеют остаток \( 1 \):
— Пусть \( a = 3x + 1 \) и \( b = 3y + 1 \).

Тогда:
\(
ab(a + b)(a — b) = (3x + 1)(3y + 1)((3x + 1) + (3y + 1))((3x + 1) -\)
\(- (3y + 1))\)

Упрощаем:
— Сложение: \( (3x + 1) + (3y + 1) = 3x + 3y + 2 \)
— Вычитание: \( (3x + 1) — (3y + 1) = 3x — 3y \)

Таким образом, выражение становится:
\(
ab(a + b)(a — b) = (3x + 1)(3y + 1)(3x + 3y + 2)(3x — 3y)
\)

Здесь множитель \( 3x — 3y \) делится на \( 3 \), следовательно, всё произведение делится на \( 3 \).

Таким образом, в любом случае выражение \( ab(a + b)(a — b) \) делится на \( 3 \).