ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 794 Макарычев — Подробные Ответы

Упростите:
а) (a² — 7)(a + 2) — (2a — 1)(a — 14);
б) (2 — b)(1 + 2b) + (1 + b)(b³ — 3b);
в) 2x² — (x — 2y)(2x + y);
г) (m — 3n)(m + 2n) — m(m — n);
д) (a — 2b)(b + 4a) — 7b(a + b);
е) (p — q)(p + 3q) — (p² + 3q²).

а) (a² — 7)(a + 2) — (2a — 1)(a — 14) = a³ — 7a + 2a² — 14 — (2a² — a —
— 28a + 14) = a³ — 7a + 2a² — 14 — 2a² + a + 28a — 14 = a³ + 22a — 28

б) (2 — b)(1 + 2b) + (1 + b)(b³ — 3b) = 2 — b + 4b — 2b² + b³ + b⁴ — 3b —
— 3b² = b⁴ + b³ — 5b² + 2

в) 2x² — (x — 2y)(2x + y) = 2x² — (2x² — 4xy + xy — 2y²) =
= 2x² — 2x² + 4xy — xy + 2y² = 2y² + 3xy

г) (m — 3n)(m + 2n) — m(m — n) = m² — 3mn + 2mn — 6n² — m² + mn = -6n²

д) (a — 2b)(b + 4a) — 7b(a + b) = ab — 2b² + 4a² — 8ab — 7ab — 7b² =
= 4a² — 14ab — 9b²

е) (p — q)(p + 3q) — (p² + 3q²) = p² — pq + 3pq — 3q² — p² — 3q² =
= 2pq — 6q²

а) (a² — 7)(a + 2) — (2a — 1)(a — 14)

1. Раскрываем первую часть: \((a² — 7)(a + 2)\):
По правилу раскрытия скобок, каждый член первой скобки умножается на каждый член второй скобки:
\(
(a² — 7)(a + 2) = a² \cdot a + a² \cdot 2 — 7 \cdot a — 7 \cdot 2
\)
Считаем:
\(
a² \cdot a = a³, \quad a² \cdot 2 = 2a², \quad -7 \cdot a = -7a, \quad -7 \cdot 2 = -14
\)
Складываем:
\(
(a² — 7)(a + 2) = a³ + 2a² — 7a — 14
\)

2. Раскрываем вторую часть: \((2a — 1)(a — 14)\):
Аналогично раскрываем скобки:
\(
(2a — 1)(a — 14) = 2a \cdot a + 2a \cdot (-14) — 1 \cdot a — 1 \cdot (-14)
\)
Считаем:
\(
2a \cdot a = 2a², \quad 2a \cdot (-14) = -28a, \quad -1 \cdot a = -a, \quad -1 \cdot (-14) = 14
\)
Складываем:
\(
(2a — 1)(a — 14) = 2a² — 28a — a + 14 = 2a² — 29a + 14
\)

3. Подставляем в исходное выражение:
Теперь у нас есть:
\(
(a² — 7)(a + 2) — (2a — 1)(a — 14) = (a³ + 2a² — 7a — 14) — (2a² — 29a + 14)
\)

4. Раскрываем скобки и упрощаем:
Раскрываем вторые скобки, меняя знаки у всех членов:
\(
a³ + 2a² — 7a — 14 — 2a² + 29a — 14
\)
Группируем похожие члены:
\(
a³ + (2a² — 2a²) + (-7a + 29a) + (-14 — 14)
\)
Упрощаем:
\(
a³ + 0 + 22a — 28
\)

5. Ответ:
\(
a³ + 22a — 28
\)

б) (2 — b)(1 + 2b) + (1 + b)(b³ — 3b)

1. Раскрываем первую часть: \((2 — b)(1 + 2b)\):
По правилу раскрытия скобок:
\(
(2 — b)(1 + 2b) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2b — b \cdot 1 — b \cdot 2b
\)
Считаем:
\(
2 \cdot 1 = 2, \quad 2 \cdot 2b = 4b, \quad -b \cdot 1 = -b, \quad -b \cdot 2b = -2b²
\)
Складываем:
\(
(2 — b)(1 + 2b) = 2 + 4b — b — 2b² = 2 + 3b — 2b²
\)

2. Раскрываем вторую часть: \((1 + b)(b³ — 3b)\):
По правилу раскрытия скобок:
\(
(1 + b)(b³ — 3b) = 1 \cdot b³ + 1 \cdot (-3b) + b \cdot b³ + b \cdot (-3b)
\)
Считаем:
\(
1 \cdot b³ = b³, \quad 1 \cdot (-3b) = -3b, \quad b \cdot b³ = b⁴, \quad b \cdot (-3b) = -3b²
\)
Складываем:
\(
(1 + b)(b³ — 3b) = b³ — 3b + b⁴ — 3b²
\)

3. Подставляем в исходное выражение:
Теперь у нас есть:
\(
(2 — b)(1 + 2b) + (1 + b)(b³ — 3b) = (2 + 3b — 2b²) + (b⁴ + b³ — 3b² — 3b)
\)

4. Складываем все члены:
Группируем похожие члены:
\(
b⁴ + b³ + (-2b² — 3b²) + (3b — 3b) + 2
\)
Упрощаем:
\(
b⁴ + b³ — 5b² + 0b + 2
\)

5. Ответ:
\(
b⁴ + b³ — 5b² + 2
\)

в) 2x² — (x — 2y)(2x + y)

1. Раскрываем скобки в произведении \((x — 2y)(2x + y)\):
Каждый член первой скобки умножаем на каждый член второй скобки:
\(
(x — 2y)(2x + y) = x \cdot 2x + x \cdot y — 2y \cdot 2x — 2y \cdot y
\)
Считаем:
\(
x \cdot 2x = 2x², \quad x \cdot y = xy, \quad -2y \cdot 2x = -4xy, \quad -2y \cdot y = -2y²
\)
Складываем:
\(
(x — 2y)(2x + y) = 2x² + xy — 4xy — 2y² = 2x² — 3xy — 2y²
\)

2. Подставляем результат в исходное выражение:
\(
2x² — (x — 2y)(2x + y) = 2x² — (2x² — 3xy — 2y²)
\)

3. Раскрываем скобки и упрощаем:
\(
2x² — (2x² — 3xy — 2y²) = 2x² — 2x² + 3xy + 2y²
\)
Считаем:
\(
2x² — 2x² = 0, \quad +3xy, \quad +2y²
\)

4. Итог:
\(
2x² — (x — 2y)(2x + y) = 3xy + 2y²
\)

г) (m — 3n)(m + 2n) — m(m — n)

1. Раскрываем первую часть: \((m — 3n)(m + 2n)\):
Каждый член первой скобки умножаем на каждый член второй скобки:
\(
(m — 3n)(m + 2n) = m \cdot m + m \cdot 2n — 3n \cdot m — 3n \cdot 2n
\)
Считаем:
\(
m \cdot m = m², \quad m \cdot 2n = 2mn, \quad -3n \cdot m = -3mn, \quad -3n \cdot 2n = -6n²
\)
Складываем:
\(
(m — 3n)(m + 2n) = m² + 2mn — 3mn — 6n² = m² — mn — 6n²
\)

2. Раскрываем вторую часть: \(m(m — n)\):
Раскрываем скобки:
\(
m(m — n) = m \cdot m — m \cdot n
\)
Считаем:
\(
m \cdot m = m², \quad m \cdot n = mn
\)
Результат:
\(
m(m — n) = m² — mn
\)

3. Подставляем результаты в исходное выражение:
\(
(m — 3n)(m + 2n) — m(m — n) = (m² — mn — 6n²) — (m² — mn)
\)

4. Раскрываем скобки и упрощаем:
Раскрываем вторую часть, меняя знаки:
\(
m² — mn — 6n² — m² + mn
\)
Считаем:
\(
m² — m² = 0, \quad -mn + mn = 0, \quad -6n²
\)

5. Итог:
\(
(m — 3n)(m + 2n) — m(m — n) = -6n²
\)

д) (a — 2b)(b + 4a) — 7b(a + b)

1. Раскрываем первую часть: \((a — 2b)(b + 4a)\):
Каждый член первой скобки умножаем на каждый член второй скобки:
\(
(a — 2b)(b + 4a) = a \cdot b + a \cdot 4a — 2b \cdot b — 2b \cdot 4a
\)
Считаем:
\(
a \cdot b = ab, \quad a \cdot 4a = 4a², \quad -2b \cdot b = -2b², \quad -2b \cdot 4a = -8ab
\)
Складываем:
\(
(a — 2b)(b + 4a) = ab + 4a² — 2b² — 8ab = 4a² — 7ab — 2b²
\)

2. Раскрываем вторую часть: \(7b(a + b)\):
Каждый член \(7b\) умножаем на каждый член скобки:
\(
7b(a + b) = 7b \cdot a + 7b \cdot b
\)
Считаем:
\(
7b \cdot a = 7ab, \quad 7b \cdot b = 7b²
\)
Складываем:
\(
7b(a + b) = 7ab + 7b²
\)

3. Подставляем результаты в исходное выражение:
\(
(a — 2b)(b + 4a) — 7b(a + b) = (4a² — 7ab — 2b²) — (7ab + 7b²)
\)

4. Раскрываем скобки и упрощаем:
\(
4a² — 7ab — 2b² — 7ab — 7b² = 4a² — (7ab + 7ab) — (2b² + 7b²)
\)
Считаем:
\(
-7ab — 7ab = -14ab, \quad -2b² — 7b² = -9b²
\)
Итог:
\(
(a — 2b)(b + 4a) — 7b(a + b) = 4a² — 14ab — 9b²
\)

е) (p — q)(p + 3q) — (p² + 3q²)

1. Раскрываем первую часть: \((p — q)(p + 3q)\):
Каждый член первой скобки умножаем на каждый член второй скобки:
\(
(p — q)(p + 3q) = p \cdot p + p \cdot 3q — q \cdot p — q \cdot 3q
\)
Считаем:
\(
p \cdot p = p², \quad p \cdot 3q = 3pq, \quad -q \cdot p = -pq, \quad -q \cdot 3q = -3q²
\)
Складываем:
\(
(p — q)(p + 3q) = p² + 3pq — pq — 3q² = p² + 2pq — 3q²
\)

2. Подставляем результат в исходное выражение:
\(
(p — q)(p + 3q) — (p² + 3q²) = (p² + 2pq — 3q²) — (p² + 3q²)
\)

3. Раскрываем скобки и упрощаем:
\(
p² + 2pq — 3q² — p² — 3q² = (p² — p²) + 2pq + (-3q² — 3q²)
\)
Считаем:
\(
p² — p² = 0, \quad -3q² — 3q² = -6q²
\)
Итог:
\(
(p — q)(p + 3q) — (p² + 3q²) = 2pq — 6q²
\)