Учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра 7 класс» давно зарекомендовал себя как одно из лучших пособий по алгебре, которое одинаково эффективно помогает ученикам освоить сложные темы, а учителям — грамотно организовать уроки.
Ключевые преимущества учебника:
1. Продуманная структура — от теории с понятными объяснениями и примером применения до практических заданий.
2. Широкий выбор заданий — от лёгких упражнений до задач, развивающих аналитическое мышление.
3. Практическая ценность— задачи с опорой на жизненные ситуации делают материал ближе к реальности.
4. Подробные объяснения— пошаговая подача сложных тем облегчает освоение ключевых концепций.
5. Экзаменационный тренинг — в конце разделов представлены задания для подготовки к контрольным работам.
Пособие Макарычева не только учит математике, но также развивает логику, аналитическое мышление и целеустремлённость. Для успешного изучения алгебры и уверенного выполнения задач этот учебник станет идеальным выбором.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 796 Макарычев — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения:
а) (3⁵ — 3⁴)(3³ + 3²) делится на 24;
б) (2¹⁰ + 2⁸)(2⁵ — 2³) делится на 60;
в) (16³ — 8³)(4³ + 2³) делится на 63;
г) (125² + 25²)(5² — 1) делится на 39.
а) (3⁵ — 3⁴)(3³ + 3²) = 3⁴(3 — 1) * 3²(3 + 1) = 3⁴ * 2 * 3² * 4 = 3⁶ * 8 = 3⁵ * 3 * 8 =
= 3⁵ * 24 — делится на 24
б) (2¹⁰ + 2⁸)(2⁵ — 2³) = 2⁸(2² + 1) * 2³(2² — 1) = 2⁸ * 5 * 2³ * 3 = 2¹¹ * 15 =
= 2⁹ * 2² * 15 = 2⁹ * 60 — делится на 60
в) (16³ — 8³)(4³ + 2³) = ((2⁴)³ -(2³)³)((2²)³ + 2³) = (2¹² — 2⁹)(2⁶ + 2³) =
=2⁹(2³ — 1) * 2³(2³ + 1) = 2⁹ * 7 * 2³ * 9 = 2¹² * 63 — делится на 63
г) (125² + 25²)(5² — 1) = ((5³)2 + (5²)²) * 24 = (5⁶ + 5⁴) * 24 = 5⁴(5² + 1) * 24 =
= 5⁴ * 26 * 24 = 5⁴ * 2 * 13 * 3 * 8 = 5⁴ * 16 * 39 — делится на 39
а) Задача: доказать, что \((3⁵ — 3⁴)(3³ + 3²)\) делится на \(24\).
1. Раскрываем первую часть: \(3⁵\) — \(3⁴\).
Заметим, что \(3⁵\) и \(3⁴\) имеют общий множитель \(3⁴\). Выносим его за скобки:
\(3⁵\) — \(3⁴\) = \(3⁴\)(\(3\) — \(1\)).
Считаем выражение в скобках:
\(3\) — \(1\) = \(2\).
Таким образом:
\(3⁵\) — \(3⁴\) = \(3⁴\) · \(2\).
2. Раскрываем вторую часть: \(3³\) + \(3²\).
Заметим, что \(3³\) и \(3²\) имеют общий множитель \(3²\). Выносим его за скобки:
\(3³\) + \(3²\) = \(3²\)(\(3\) + \(1\)).
Считаем выражение в скобках:
\(3\) + \(1\) = \(4\).
Таким образом:
\(3³\) + \(3²\) = \(3²\) · \(4\).
3. Перемножаем обе части.
Подставляем результаты в исходное выражение:
(\(3⁵\) — \(3⁴\))(\(3³\) + \(3²\)) = (\(3⁴\) · \(2\))(\(3²\) · \(4\)).
Умножаем отдельно множители:
(\(3⁴\) · \(2\))(\(3²\) · \(4\)) = \(3⁴\) · \(3²\) · \(2\) · \(4\).
4. Упрощаем выражение.
Считаем степени числа \(3\):
\(3⁴\) · \(3²\) = \(3⁶\).
Умножаем оставшиеся числа:
\(2\) · \(4\) = \(8\).
Таким образом:
(\(3⁵\) — \(3⁴\))(\(3³\) + \(3²\)) = \(3⁶\) · \(8\).
5. Преобразуем для проверки делимости на \(24\).
Распишем \(3⁶\) как \(3⁵\) · \(3\):
(\(3⁵\) — \(3⁴\))(\(3³\) + \(3²\)) = (\(3⁵\) · \(3\)) · \(8\).
Перегруппируем множители:
(\(3⁵\) — \(3⁴\))(\(3³\) + \(3²\)) = \(3⁵\) · (\(3\) · \(8\)).
Умножаем:
(\(3⁵\) — \(3⁴\))(\(3³\) + \(3²\)) = \(3⁵\) · \(24\).
Вывод:
Так как результат содержит множитель \(24\), выражение делится на \(24\).
Ответ:
(\(3⁵\) — \(3⁴\))(\(3³\) + \(3²\)) = \(3⁵\) · \(24\).
Делится на \(24\).
б) Докажем, что \((2^{10} + 2^8)(2^5 — 2^3)\) делится на 60.
1. Раскрываем первую часть: \( 2^{10} + 2^8 \).
Заметим, что \( 2^{10} \) и \( 2^8 \) имеют общий множитель \( 2^8 \). Выносим его за скобки:
\( 2^{10} + 2^8 = 2^8(2^{2} + 1) \).
Считаем выражение в скобках:
\( 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \).
Таким образом:
\( 2^{10} + 2^8 = 2^8 \cdot 5 \).
2. Раскрываем вторую часть: \( 2^5 — 2^3 \).
Заметим, что \( 2^5 \) и \( 2^3 \) имеют общий множитель \( 2^3 \). Выносим его за скобки:
\( 2^5 — 2^3 = 2^3(2^2 — 1) \).
Считаем выражение в скобках:
\( 2^2 — 1 = 4 — 1 = 3 \).
Таким образом:
\( 2^5 — 2^3 = 2^3 \cdot 3 \).
3. Перемножаем обе части.
Подставляем результаты в исходное выражение:
\( (2^{10} + 2^8)(2^5 — 2^3) = (2^8 \cdot 5)(2^3 \cdot 3) \).
Умножаем отдельно множители:
\( (2^8 \cdot 5)(2^3 \cdot 3) = 2^8 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 3 \).
4. Упрощаем выражение.
Считаем степени числа \( 2 \):
\( 2^8 \cdot 2^3 = 2^{8+3} = 2^{11} \).
Умножаем оставшиеся числа:
\( 5 \cdot 3 = 15 \).
Таким образом:
\( (2^{10} + 2^8)(2^5 — 2^3) = 2^{11} \cdot 15 \).
5. Преобразуем для делимости на \( 60 \).
Разложим \( 15 \) на множители:
\( 15 = 3 \cdot 5 \).
Теперь перепишем \( 2^{11} \) как \( 2^9 \cdot 2^2 \):
\( 2^{11} \cdot 15 = 2^9 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^9 \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 5) = 2^9 \cdot 60 \).
Вывод:
Так как \( 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \), выражение \( (2^{10} + 2^8)(2^5 — 2^3) \) делится на \( 60 \).
в) Докажем, что \( (16³ — 8³)(4³ + 2³) \) делится на 63.
1. Преобразуем первую часть: \( 16³ — 8³ \).
Заметим, что \( 16 = 2^4 \) и \( 8 = 2^3 \). Подставляем в выражение:
\( 16³ — 8³ = (2^4)³ — (2^3)³ \).
Это разность кубов, раскладываем по формуле \( a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²) \):
\( (2^4)³ — (2^3)³ = (2^4 — 2^3)((2^4)² + (2^4)(2^3) + (2^3)²) \).
Считаем первую скобку:
\( 2^4 — 2^3 = 16 — 8 = 8 = 2³ \).
Считаем вторую скобку:
\( (2^4)² + (2^4)(2^3) + (2^3)² = 256 + 128 + 64 = 448 \).
Таким образом:
\( 16³ — 8³ = 2³ \cdot 448 \).
2. Преобразуем вторую часть: \( 4³ + 2³ \).
Заметим, что \( 4 = 2² \). Подставляем в выражение:
\( 4³ + 2³ = (2²)³ + (2³) \).
Считаем степени:
\( (2²)³ = 2^{6}, \quad (2³) = 2^{3} \).
Выносим \( 2^{3} \) за скобки:
\( 4³ + 2³ = 2^{3}(2^{3} + 1) \).
Считаем выражение в скобках:
\( 2^{3} + 1 = 8 + 1 = 9 \).
Таким образом:
\( 4³ + 2³ = 2^{3} \cdot 9 \).
3. Перемножаем обе части.
Подставляем результаты в исходное выражение:
\( (16³ — 8³)(4³ + 2³) = (2³ \cdot 448)(2^{3} \cdot 9) \).
Разложим \( 448 \) на множители:
\( 448 = 64 \cdot 7 = 2^{6} \cdot 7 \).
Подставляем:
\( (16³ — 8³)(4³ + 2³) = (2^{3} \cdot 2^{6} \cdot 7)(2^{3} \cdot 9) \).
4. Упрощаем выражение.
Складываем степени числа \( 2 \):
\( 2^{3} \cdot 2^{6} \cdot 7 \cdot 2^{3} \cdot 9 = 2^{3+6+3} \cdot 7 \cdot 9 = 2^{12} \cdot 7 \cdot 9 \).
Умножаем \( 7 \cdot 9 \):
\( 7 \cdot 9 = 63 \).
Таким образом:
\( (16³ — 8³)(4³ + 2³) = 2^{12} \cdot 63 \).
Вывод:
Число \( 2^{12} \cdot 63 \) делится на \( 63 \), так как содержит множители \( 7 \) и \( 9 \), а также делится на \( 3 \cdot 21 = 63 \).
г) Докажем, что \( (125² + 25²)(5² — 1) \) делится на 39.
1. Преобразуем первую часть: \( 125² + 25² \).
Заметим, что \( 125 = 5³ \) и \( 25 = 5² \). Подставляем в выражение:
\( 125² + 25² = (5³)² + (5²)² \).
Считаем степени:
\( (5³)² = 5^{6}, \quad (5²)² = 5^{4} \).
Таким образом:
\( 125² + 25² = 5^{6} + 5^{4} \).
Выносим \( 5^{4} \) за скобки:
\( 125² + 25² = 5^{4}(5² + 1) \).
2. Преобразуем вторую часть: \( 5² — 1 \).
Считаем степени:
\( 5² — 1 = 25 — 1 = 24 \).
3. Перемножаем обе части.
Подставляем результаты в исходное выражение:
\( (125² + 25²)(5² — 1) = (5^{4}(5² + 1)) \cdot 24 \).
4. Упрощаем выражение.
Считаем \( 5² + 1 \):
\( 5² + 1 = 25 + 1 = 26 \).
Подставляем:
\( (125² + 25²)(5² — 1) = 5^{4} \cdot 26 \cdot 24 \).
Разложим \( 26 \) и \( 24 \) на множители:
\( 26 = 2 \cdot 13, \quad 24 = 3 \cdot 8 \).
Подставляем:
\( (125² + 25²)(5² — 1) = 5^{4} \cdot (2 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 8) \).
5. Группируем множители.
Упорядочим выражение:
\( (125² + 25²)(5² — 1) = 5^{4} \cdot (2 \cdot 3 \cdot 8) \cdot 13 \).
Считаем произведение \(2 \cdot 3 \cdot 8\):
\( 2 \cdot 3 \cdot 8 = 48 \).
Таким образом:
\( (125² + 25²)(5² — 1) = 5^{4} \cdot 48 \cdot 13 \).
6. Разложение через число \(39\).
Заметим, что \(48 = 16 \cdot 3\), а \(39 = 13 \cdot 3\). Подставляем это в выражение:
\( (125² + 25²)(5² — 1) = 5^{4} \cdot (16 \cdot 39) \).
Заключение:
Так как выражение содержит множитель \(39\), оно делится на \(39\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.