ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 798 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
а) (a — 3)(a² — 8a + 5) — (a — 8)(a² — 3a + 5);
б) (x² — 3x + 2)(2x + 5) — (2x² + 7x + 17)(x — 4);
в) (b² + 4b — 5)(b — 2) + (3 — b)(b² + 5b + 2).

а) \((a — 3)(a² — 8a + 5) — (a — 8)(a² — 3a + 5) =\)
\(= a³ — 3a² — 8a² + 24a + 5a — 15 — (a³ — 8a² — 3a² + 24a + 5a — 40) =\)
\(= a³ — 11a² + 29a — 15 — a³ + 11a² — 29a + 40 = 25\)
Ответ: не зависит от значения переменной.

б) \((x² — 3x + 2)(2x + 5) — (2x² + 7x + 17)(x — 4) =\)
\(= 2x³ — 6x² + 4x + 5x² — 15x + 10 — (2x³ + 7x² + 17x — 8x² — 28x -\)
\(- 68) = 2x³ — x² — 11x + 10 — 2x³ + x² + 11x + 68 = 78\)
Ответ: не зависит от значения переменной.

в)\((b² + 4b — 5)(b — 2) + (3 — b)(b² + 5b + 2) =\)
\(= b³ + 4b² — 5b — 2b² — 8b + 10 + 3b² — b³ + 15b — 5b² + 6 — 2b = 16\)
Ответ: не зависит от значения переменной.

а) Доказательство для \((a — 3)(a^2 — 8a + 5) — (a — 8)(a^2 — 3a + 5)\)

1. Раскроем первую часть выражения:
\((a — 3)(a^2 — 8a + 5)\).
Для этого умножим каждое слагаемое из первой скобки на каждое слагаемое из второй:
\(a \cdot a^2 + a \cdot (-8a) + a \cdot 5 — 3 \cdot a^2 — 3 \cdot (-8a) — 3 \cdot 5\).

Выполним умножение:
\(a \cdot a^2 = a^3,\)
\(a \cdot (-8a) = -8a^2,\)
\(a \cdot 5 = 5a,\)
\(-3 \cdot a^2 = -3a^2,\)
\(-3 \cdot (-8a) = 24a,\)
\(-3 \cdot 5 = -15.\)

Сложим все результаты:
\(a^3 — 8a^2 + 5a — 3a^2 + 24a — 15.\)

Приведём подобные слагаемые:
\(a^3\) остаётся без изменений,
\(-8a^2\) и \(-3a^2\) дают \(-11a^2,\)
\(5a\) и \(24a\) дают \(29a,\)
\(-15\) остаётся без изменений.

Итак, первая часть выражения равна:
\(a^3 — 11a^2 + 29a — 15.\)

2. Раскроем вторую часть выражения:
\((a — 8)(a^2 — 3a + 5)\).
Аналогично, умножаем каждое слагаемое из первой скобки на каждое слагаемое из второй:
\(a \cdot a^2 + a \cdot (-3a) + a \cdot 5 — 8 \cdot a^2 — 8 \cdot (-3a) — 8 \cdot 5.\)

Выполним умножение:
\(a \cdot a^2 = a^3,\)
\(a \cdot (-3a) = -3a^2,\)
\(a \cdot 5 = 5a,\)
\(-8 \cdot a^2 = -8a^2,\)
\(-8 \cdot (-3a) = 24a,\)
\(-8 \cdot 5 = -40.\)

Сложим все результаты:
\(a^3 — 3a^2 + 5a — 8a^2 + 24a — 40.\)

Приведём подобные слагаемые:
\(a^3\) остаётся без изменений,
\(-3a^2\) и \(-8a^2\) дают \(-11a^2,\)
\(5a\) и \(24a\) дают \(29a,\)
\(-40\) остаётся без изменений.

Итак, вторая часть выражения равна:
\(a^3 — 11a^2 + 29a — 40.\)

3. Вычтем вторую часть из первой:
\((a^3 — 11a^2 + 29a — 15) — (a^3 — 11a^2 + 29a — 40).\)

Раскрываем скобки:
\(a^3 — 11a^2 + 29a — 15 — a^3 + 11a^2 — 29a + 40.\)

Приведём подобные слагаемые:
\(a^3 — a^3 = 0,\)
\(-11a^2 + 11a^2 = 0,\)
\(29a — 29a = 0,\)
\(-15 + 40 = 25.\)

Итак, значение выражения равно:
\(25.\)

Ответ: значение выражения равно \(25\) и не зависит от значения переменной \(a\).

б) Доказательство для \((x^2 — 3x + 2)(2x + 5) — (2x^2 + 7x + 17)(x — 4)\)

1. Раскроем первую часть выражения:
\((x^2 — 3x + 2)(2x + 5)\).
Для этого умножим каждое слагаемое из первой скобки на каждое слагаемое из второй:
\(
x^2 \cdot 2x + x^2 \cdot 5 — 3x \cdot 2x — 3x \cdot 5 + 2 \cdot 2x + 2 \cdot 5.
\)

Выполним умножение:
\(
x^2 \cdot 2x = 2x^3,
\)
\(
x^2 \cdot 5 = 5x^2,
\)
\(
-3x \cdot 2x = -6x^2,
\)
\(
-3x \cdot 5 = -15x,
\)
\(
2 \cdot 2x = 4x,
\)
\(
2 \cdot 5 = 10.
\)

Сложим все результаты:
\(
2x^3 + 5x^2 — 6x^2 — 15x + 4x + 10.
\)

Приведём подобные слагаемые:
\(5x^2 — 6x^2 = -x^2,\)
\(-15x + 4x = -11x.\)

Итак, первая часть выражения равна:
\(
2x^3 — x^2 — 11x + 10.
\)

2. Раскроем вторую часть выражения:
\((2x^2 + 7x + 17)(x — 4)\).
Для этого умножим каждое слагаемое из первой скобки на каждое слагаемое из второй:
\(
2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot (-4) + 7x \cdot x + 7x \cdot (-4) + 17 \cdot x + 17 \cdot (-4).
\)

Выполним умножение:
\(
2x^2 \cdot x = 2x^3,
\)
\(
2x^2 \cdot (-4) = -8x^2,
\)
\(
7x \cdot x = 7x^2,
\)
\(
7x \cdot (-4) = -28x,
\)
\(
17 \cdot x = 17x,
\)
\(
17 \cdot (-4) = -68.
\)

Сложим все результаты:
\(
2x^3 — 8x^2 + 7x^2 — 28x + 17x — 68.
\)

Приведём подобные слагаемые:
\(-8x^2 + 7x^2 = -x^2,\)
\(-28x + 17x = -11x.\)

Итак, вторая часть выражения равна:
\(
2x^3 — x^2 — 11x — 68.
\)

3. Вычтем вторую часть из первой:
\(
(2x^3 — x^2 — 11x + 10) — (2x^3 — x^2 — 11x — 68).
\)

Раскрываем скобки и упрощаем:
\(
2x^3 — x^2 — 11x + 10 — 2x^3 + x^2 + 11x + 68.
\)

Приведём подобные слагаемые:
\(2x^3 — 2x^3 = 0,\)
\(-x^2 + x^2 = 0,\)
\(-11x + 11x = 0,\)
\(10 + 68 = 78.\)

Итак, значение выражения равно:
\(
78.
\)

Ответ: значение выражения равно \(78\), и оно не зависит от значения переменной \(x\).

в) Доказательство для \((b^2 + 4b — 5)(b — 2) + (3 — b)(b^2 + 5b + 2)\)

1. Раскроем первую часть выражения:
\((b^2 + 4b — 5)(b — 2)\).
Для этого умножим каждое слагаемое из первой скобки на каждое слагаемое из второй:
\(
b^2 \cdot b + b^2 \cdot (-2) + 4b \cdot b + 4b \cdot (-2) — 5 \cdot b — 5 \cdot (-2).
\)

Выполним умножение:
\(
b^2 \cdot b = b^3,
\)
\(
b^2 \cdot (-2) = -2b^2,
\)
\(
4b \cdot b = 4b^2,
\)
\(
4b \cdot (-2) = -8b,
\)
\(
-5 \cdot b = -5b,
\)
\(
-5 \cdot (-2) = 10.
\)

Сложим все результаты:
\(
b^3 — 2b^2 + 4b^2 — 8b — 5b + 10.
\)

Приведём подобные слагаемые:
\(-2b^2 + 4b^2 = 2b^2,\)
\(-8b — 5b = -13b.\)

Итак, первая часть выражения равна:
\(
b^3 + 2b^2 — 13b + 10.
\)

2. Раскроем вторую часть выражения:
\((3 — b)(b^2 + 5b + 2)\).
Для этого умножим каждое слагаемое из первой скобки на каждое слагаемое из второй:
\(
3 \cdot b^2 + 3 \cdot 5b + 3 \cdot 2 — b \cdot b^2 — b \cdot 5b — b \cdot 2.
\)

Выполним умножение:
\(
3 \cdot b^2 = 3b^2,
\)
\(
3 \cdot 5b = 15b,
\)
\(
3 \cdot 2 = 6,
\)
\(
-b \cdot b^2 = -b^3,
\)
\(
-b \cdot 5b = -5b^2,
\)
\(
-b \cdot 2 = -2b.
\)

Сложим все результаты:
\(
3b^2 + 15b + 6 — b^3 — 5b^2 — 2b.
\)

Приведём подобные слагаемые:
\(3b^2 — 5b^2 = -2b^2,\)
\(15b — 2b = 13b.\)

Итак, вторая часть выражения равна:
\(
-b^3 — 2b^2 + 13b + 6.
\)

3. Сложим обе части выражения:
Первая часть: \(b^3 + 2b^2 — 13b + 10,\)
Вторая часть: \(-b^3 — 2b^2 + 13b + 6.\)

Складываем:
\(
(b^3 — b^3) + (2b^2 — 2b^2) + (-13b + 13b) + (10 + 6).
\)

Приведём подобные слагаемые:
\(b^3 — b^3 = 0,\)
\(2b^2 — 2b^2 = 0,\)
\(-13b + 13b = 0,\)
\(10 + 6 = 16.\)

Итак, значение всего выражения равно:
\(16.\)

Ответ: значение выражения равно \(16\), и оно не зависит от значения переменной \(b\).