ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 804 Макарычев — Подробные Ответы

Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то его площадь увеличится на 30 м². Определите площадь первоначального прямоугольника.

36 : 2 = 18 м — сумма длины и ширины прямоугольника

Пусть длина первоначального прямоугольника равна \(x\) м, тогда его ширина составляет \((18 — x)\) м.
Площадь исходного прямоугольника можно представить как \(x(18 — x)\) м².

После изменения размеров:
— Длина прямоугольника становится равной \((x + 1)\) м.
— Ширина прямоугольника увеличивается до \((18 — x + 2)\) м, то есть \((20 — x)\) м.
Площадь нового прямоугольника равна \((x + 1)(20 — x)\) м².

Составим уравнение:

(x + 1)(20 — x) — 30=x(18 — x)
20x + 20 — x² -x — 30 = 18x — x²
19x — 18x = 30 — 20
х = 10 м — длина первоначального прямоугольника
18 — 10 = 8 м — ширина первоначального прямоугольника
10 * 8 = 80 м² — площадь первоначального прямоугольника

Ответ: 80 м²

Шаг 1. Найдем сумму длины и ширины прямоугольника:
Периметр прямоугольника равен 36 м, а формула периметра:
\( P = 2 \cdot (\text{длина} + \text{ширина}) \)

Подставим значение периметра:
\( 36 = 2 \cdot (\text{длина} + \text{ширина}) \)

Разделим обе стороны уравнения на 2:
\( \text{длина} + \text{ширина} = 18 \, \text{м}. \)

Таким образом, сумма длины и ширины прямоугольника равна 18 м.

Шаг 2. Ввод обозначений:
Пусть длина первоначального прямоугольника равна \( x \) м. Тогда ширина прямоугольника составит:
\( 18 — x \, \text{м}. \)

Площадь первоначального прямоугольника равна произведению его длины и ширины:
\( x(18 — x) \, \text{м}^2. \)

Шаг 3. После изменения размеров:
— Длина прямоугольника увеличивается на 1 м, то есть становится равной:
\( x + 1 \, \text{м}. \)

— Ширина прямоугольника увеличивается на 2 м, то есть становится равной:
\( 18 — x + 2 = 20 — x \, \text{м}. \)

Площадь нового прямоугольника равна произведению измененной длины и ширины:
\( (x + 1)(20 — x) \, \text{м}^2. \)

Шаг 4. Составим уравнение:
По условию задачи, площадь нового прямоугольника больше площади первоначального на 30 м². Это записывается как:
\( (x + 1)(20 — x) — 30 = x(18 — x). \)

Шаг 5. Раскроем скобки в уравнении:
Раскроем скобки в левой части уравнения:
\( (x + 1)(20 — x) = 20x + 20 — x^2 — x = 20x + 20 — x^2 — x. \)

Упростим выражение:
\( (x + 1)(20 — x) = -x^2 + 19x + 20. \)

Теперь уравнение примет вид:
\( -x^2 + 19x + 20 — 30 = x(18 — x). \)

Раскроем скобки в правой части уравнения:
\( x(18 — x) = 18x — x^2. \)

Подставим это в уравнение:
\( -x^2 + 19x + 20 — 30 = 18x — x^2. \)

Шаг 6. Приведем подобные слагаемые:
Упростим обе стороны уравнения:
\( -x^2 + 19x — 10 = -x^2 + 18x. \)

Перенесем все члены с \( x \) в одну сторону:
\( 19x — 18x = 10. \)

Упростим:
\( x = 10. \)

Шаг 7. Найдем ширину и площадь первоначального прямоугольника:
Ширина равна:
\( 18 — x = 18 — 10 = 8 \, \text{м}. \)

Площадь первоначального прямоугольника равна:
\( x \cdot (18 — x) = 10 \cdot 8 = 80 \, \text{м}^2. \)

Ответ:
Площадь первоначального прямоугольника составляет 80 м².