ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 809 Макарычев — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:
а) x² — 10x + 24;
б) x² — 13x + 40;
в) x² + 8x + 7;
г) x² + 15x + 54;
д) x² + x — 12;
е) x² — 2x — 35.

а) x² — 10x + 24 = x² — 4x — 6x + 24 = (x² — 4x) + (-6x + 24) =
x(x — 4) — 6(x — 4) = (x — 4)(x — 6)

б) x² — 13x + 40 = x² — 5x — 8x + 40 = (x² — 5x) + (-8x + 40) =
x(x — 5) — 8(x — 5) = (x — 5)(x — 8)

в) x² + 8x + 7 = x² + x + 7x + 7 = (x² + x) + (7x + 7) =
x(x + 1) + 7(x + 1) = (x + 1)(x + 7)

г) x² + 15x + 54 = x² + 6x + 9x + 54 = (x² + 6x) + (9x + 54) =
x(x + 6) + 9(x + 6) = (x + 6)(x + 9)

д) x² + x — 12 = x² — 3x + 4x — 12 = (x² — 3x) + (4x — 12) =
x(x — 3) + 4(x — 3) = (x — 3)(x + 4)

е) x² — 2x — 35 = x² + 5x — 7x — 35 = (x² + 5x) + (-7x — 35) =
x(x + 5) — 7(x + 5) = (x + 5)(x — 7)

а) \( x^2 — 10x + 24 \)

Шаг 1. Исходное выражение:
\(
x^2 — 10x + 24
\)

Шаг 2. Разбиение среднего члена (\(-10x\)):
Нужно найти два числа, которые:
1. В сумме дают \(-10\) (коэффициент перед \( x \)),
2. В произведении дают \( 24 \) (свободный член).

Такие числа: \(-4\) и \(-6\).

Разбиваем \(-10x\) на \(-4x\) и \(-6x\):
\(
x^2 — 10x + 24 = x^2 — 4x — 6x + 24
\)

Шаг 3. Группировка членов:
Группируем члены по парам:
\(
(x^2 — 4x) + (-6x + 24)
\)

Шаг 4. Вынесем общий множитель в каждой группе:
— В первой группе (\( x^2 — 4x \)) общий множитель — это \( x \):
\(
x^2 — 4x = x(x — 4)
\)
— Во второй группе (\( -6x + 24 \)) общий множитель — это \( -6 \):
\(
-6x + 24 = -6(x — 4)
\)

Шаг 5. Вынесем общий множитель:
Теперь у нас есть общий множитель \( (x — 4) \):
\(
x(x — 4) — 6(x — 4) = (x — 4)(x — 6)
\)

Ответ:
\(
x^2 — 10x + 24 = (x — 4)(x — 6)
\)

б) \( x^2 — 13x + 40 \)

Шаг 1. Исходное выражение:
\(
x^2 — 13x + 40
\)

Шаг 2. Разбиение среднего члена (\(-13x\)):
Нужно найти два числа, которые:
1. В сумме дают \(-13\),
2. В произведении дают \(40\).

Такие числа: \(-5\) и \(-8\).

Разбиваем \(-13x\) на \(-5x\) и \(-8x\):
\(
x^2 — 13x + 40 = x^2 — 5x — 8x + 40
\)

Шаг 3. Группировка членов:
Группируем члены по парам:
\(
(x^2 — 5x) + (-8x + 40)
\)

Шаг 4. Вынесем общий множитель в каждой группе:
— В первой группе (\( x^2 — 5x \)) общий множитель — это \( x \):
\(
x^2 — 5x = x(x — 5)
\)
— Во второй группе (\( -8x + 40 \)) общий множитель — это \( -8 \):
\(
-8x + 40 = -8(x — 5)
\)

Шаг 5. Вынесем общий множитель:
Теперь у нас есть общий множитель \( (x — 5) \):
\(
x(x — 5) — 8(x — 5) = (x — 5)(x — 8)
\)

Ответ:
\(
x^2 — 13x + 40 = (x — 5)(x — 8)
\)

в) \( x^2 + 8x + 7 \)

Шаг 1. Исходное выражение:
\(
x^2 + 8x + 7
\)

Шаг 2. Разбиение среднего члена (\(8x\)):
Нужно найти два числа, которые:
1. В сумме дают \(8\),
2. В произведении дают \(7\).

Такие числа: \(1\) и \(7\).

Разбиваем \(8x\) на \(1x\) и \(7x\):
\(
x^2 + 8x + 7 = x^2 + x + 7x + 7
\)

Шаг 3. Группировка членов:
Группируем члены по парам:
\(
(x^2 + x) + (7x + 7)
\)

Шаг 4. Вынесем общий множитель в каждой группе:
— В первой группе (\( x^2 + x \)) общий множитель — это \( x \):
\(
x^2 + x = x(x + 1)
\)
— Во второй группе (\( 7x + 7 \)) общий множитель — это \(7 \):
\(
7x + 7 = 7(x + 1)
\)

Шаг 5. Вынесем общий множитель:
Теперь у нас есть общий множитель \( (x + 1) \):
\(
x(x + 1) + 7(x + 1) = (x + 1)(x + 7)
\)

Ответ:
\(
x^2 + 8x + 7 = (x + 1)(x + 7)
\)

г) \( x^2 + 15x + 54 \)

Шаг 1. Исходное выражение:
\(
x^2 + 15x + 54
\)

Шаг 2. Разбиение среднего члена (\( 15x \)):
Нужно найти два числа, которые:
1. В сумме дают \( 15 \) (коэффициент перед \( x \)),
2. В произведении дают \( 54 \) (свободный член).

Такие числа: \( 6 \) и \( 9 \).

Разбиваем \( 15x \) на \( 6x \) и \( 9x \):
\(
x^2 + 15x + 54 = x^2 + 6x + 9x + 54
\)

Шаг 3. Группировка членов:
Группируем члены по парам:
\(
(x^2 + 6x) + (9x + 54)
\)

Шаг 4. Вынесем общий множитель в каждой группе:
— В первой группе (\( x^2 + 6x \)) общий множитель — это \( x \):
\(
x^2 + 6x = x(x + 6)
\)
— Во второй группе (\( 9x + 54 \)) общий множитель — это \( 9 \):
\(
9x + 54 = 9(x + 6)
\)

Шаг 5. Вынесем общий множитель:
Теперь у нас есть общий множитель \( (x + 6) \):
\(
x(x + 6) + 9(x + 6) = (x + 6)(x + 9)
\)

Ответ:
\(
x^2 + 15x + 54 = (x + 6)(x + 9)
\)

д) \( x^2 + x — 12 \)

Шаг 1. Исходное выражение:
\(
x^2 + x — 12
\)

Шаг 2. Разбиение среднего члена (\( x \)):
Нужно найти два числа, которые:
1. В сумме дают \( 1 \) (коэффициент перед \( x \)),
2. В произведении дают \( -12 \) (свободный член).

Такие числа: \( -3 \) и \( 4 \).

Разбиваем \( x \) на \( -3x \) и \( 4x \):
\(
x^2 + x — 12 = x^2 — 3x + 4x — 12
\)

Шаг 3. Группировка членов:
Группируем члены по парам:
\(
(x^2 — 3x) + (4x — 12)
\)

Шаг 4. Вынесем общий множитель в каждой группе:
— В первой группе (\( x^2 — 3x \)) общий множитель — это \( x \):
\(
x^2 — 3x = x(x — 3)
\)
— Во второй группе (\( 4x — 12 \)) общий множитель — это \( 4 \):
\(
4x — 12 = 4(x — 3)
\)

Шаг 5. Вынесем общий множитель:
Теперь у нас есть общий множитель \( (x — 3) \):
\(
x(x — 3) + 4(x — 3) = (x — 3)(x + 4)
\)

Ответ:
\(
x^2 + x — 12 = (x — 3)(x + 4)
\)

е) \( x^2 — 2x — 35 \)

Шаг 1. Исходное выражение:
\(
x^2 — 2x — 35
\)

Шаг 2. Разбиение среднего члена (\( -2x \)):
Нужно найти два числа, которые:
1. В сумме дают \( -2 \) (коэффициент перед \( x \)),
2. В произведении дают \( -35 \) (свободный член).

Такие числа: \( -7 \) и \( 5 \).

Разбиваем \( -2x \) на \( -7x \) и \( 5x \):
\(
x^2 — 2x — 35 = x^2 — 7x + 5x — 35
\)

Шаг 3. Группировка членов:
Группируем члены по парам:
\(
(x^2 — 7x) + (5x — 35)
\)

Шаг 4. Вынесем общий множитель в каждой группе:
— В первой группе (\( x^2 — 7x \)) общий множитель — это \( x \):
\(
x^2 — 7x = x(x — 7)
\)
— Во второй группе (\( 5x — 35 \)) общий множитель — это \( 5 \):
\(
5x — 35 = 5(x — 7)
\)

Шаг 5. Вынесем общий множитель:
Теперь у нас есть общий множитель \( (x — 7) \):
\(
x(x — 7) + 5(x — 7) = (x — 7)(x + 5)
\)

Ответ:
\(
x^2 — 2x — 35 = (x — 7)(x + 5)
\)