ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 811 Макарычев — Подробные Ответы

Докажите тождество:
а) \( (y^4+y^3)(y^2-y)=y^4(y+1)(y-1); \)
б) \( (a^2+3a)(a^2+3a+2)=a(a+1)(a+2)(a+3); \)
в) \( (a^2 + ab + b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4+ a^2b^2+b^4; \)
г) \( (c^4-c^2+1)(c^4+c^2+1)=c^8 +c^4+1. \)

а) \( (y^4 + y^3)(y^2 — y) = y^4(y + 1)(y — 1) \) — доказать
\( y^6 + y^5 — y^5 — y^4 = (y^5 + y^4)(y — 1) \)
\( y^6 — y^4 = y^6 + y^5 — y^5 — y^4 \)
\( y^6 — y^4 = y^6 — y^4 \) — доказано

б) \( (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) \) — доказать
\( a^4 + 3a^3 + 3a^3 + 9a^2 + 2a^2 + 6a = (a^2 + a)(a^2 + 2a + 3a + 6) \)
\( a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a = (a^2 + a)(a^2 + 5a + 6) \)
\( a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a = a^4 + a^3 + 5a^3 + 5a^2 + 6a^2 + 6a \)
\( a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a = a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a \) — доказано

в) \( (a^2 + ab + b^2)(a^2 — ab + b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4 \) — доказать
\( (a^2 + ab + b^2)(a^2 — ab + b^2) = a^4 + a^3b + a^2b^2 — a^3b — a^2b^2 -\)
\(- ab^3 + a^2b^2 + ab^3 + b^4 = a^4 + a^2b^2 + b^4 \) — доказано

г) \( (c^4 — c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = c^8 + c^4 + 1 \) — доказать
\( (c^4 — c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = c^8 — c^6 + c^4 + c^6 — c^4 + c^2 + c^4 -\)
\(- c^2 + 1 = c^8 + c^4 + 1 \) — доказано

а) \( (y^4 + y^3)(y^2 — y) = y^4(y + 1)(y — 1) \)

1. Раскроем скобки в левой части:
\( (y^4 + y^3)(y^2 — y) = y^4(y^2 — y) + y^3(y^2 — y). \)
2. Умножим каждую скобку:
\( y^4(y^2 — y) = y^6 — y^5, \quad y^3(y^2 — y) = y^5 — y^4. \)
3. Сложим результаты:
\( (y^6 — y^5) + (y^5 — y^4) = y^6 — y^4. \)
4. Теперь правая часть:
\( y^4(y + 1)(y — 1) = y^4((y + 1)(y — 1)) = y^4(y^2 — 1). \)
5. Умножим:
\( y^4(y^2 — 1) = y^6 — y^4. \)

Итак, левая часть равна правой:
\( y^6 — y^4 = y^6 — y^4. \)
Доказано.

б) \( (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) \)

1. Раскроем скобки в левой части:
\( (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = (a^2 + 3a)(a^2 + 3a) + (a^2 + 3a)(2). \)
2. Умножим каждую часть:
\( (a^2 + 3a)(a^2 + 3a) = a^4 + 6a^3 + 9a^2, \)
\( (a^2 + 3a)(2) = 2a^2 + 6a. \)
3. Сложим:
\( a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 2a^2 + 6a = a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a. \)
4. Теперь раскроем правую часть:
\( a(a + 1)(a + 2)(a + 3) = a(a + 1)((a + 2)(a + 3)). \)
5. Умножим \( (a + 2)(a + 3): \)
\( (a + 2)(a + 3) = a^2 + 5a + 6. \)
6. Подставим:
\( a(a + 1)(a^2 + 5a + 6) = a(a^3 + 5a^2 + 6a + a^2 + 5a + 6). \)
7. Упростим:
\( a(a^3 + 6a^2 + 11a + 6) = a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a. \)

Итак, левая часть равна правой:
\( a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a = a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 6a. \)
Доказано.

в) \( (a^2 + ab + b^2)(a^2 — ab + b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4 \)

1. Раскроем скобки в левой части:
\( (a^2 + ab + b^2)(a^2 — ab + b^2). \)
2. Используем формулу разности квадратов:
\( (x + y)(x — y) = x^2 — y^2, \)
где \( x = a^2 + b^2, \, y = ab. \) Тогда:
\( (a^2 + ab + b^2)(a^2 — ab + b^2) = (a^2 + b^2)^2 — (ab)^2. \)
3. Возведем \( (a^2 + b^2)^2 \) в квадрат:
\( (a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4. \)
4. Вычтем \( (ab)^2: \)
\( a^4 + 2a^2b^2 + b^4 — a^2b^2 = a^4 + a^2b^2 + b^4. \)

Итак, левая часть равна правой:
\( a^4 + a^2b^2 + b^4 = a^4 + a^2b^2 + b^4. \)
Доказано.

г) \( (c^4 — c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = c^8 + c^4 + 1 \)

1. Раскроем скобки в левой части:
\( (c^4 — c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1). \)
2. Используем формулу разности квадратов:
\( (x — y)(x + y) = x^2 — y^2, \)
где \( x = c^4 + 1, \, y = c^2. \) Тогда:
\( (c^4 — c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = (c^4 + 1)^2 — (c^2)^2. \)
3. Возведем \( (c^4 + 1)^2 \):
\( (c^4 + 1)^2 = c^8 + 2c^4 + 1. \)
4. Вычтем \( (c^2)^2 = c^4: \)
\( c^8 + 2c^4 + 1 — c^4 = c^8 + c^4 + 1. \)

Итак, левая часть равна правой:
\( c^8 + c^4 + 1 = c^8 + c^4 + 1. \)
Доказано.